Satz von Riemann-Roch

Um Null- und Polstellen einer Funktion an bestimmten Stellen vorschreiben zu können, wird der Begriff Divisor eingeführt. Sei ${\displaystyle X}$ eine riemannsche Fläche. Eine Funktion ${\displaystyle D\colon X\rightarrow \mathbb {Z} }$ heißt Divisor, falls sie nur an isolierten Punkten von null verschieden ist.

Der Divisor einer meromorphen Funktion ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}}$ in die riemannsche Sphäre wird mit ${\displaystyle (f)}$ bezeichnet und ist so definiert, dass jedem Punkt ${\displaystyle x\in X}$ die Null- bzw. Polstellenordnung von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ zugeordnet wird:

${\displaystyle \left(f\right)(x):={\begin{cases}0,&f{\mbox{ holomorph und ungleich null in }}x\\k,&f{\mbox{ hat eine Nullstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\\-k,&f{\mbox{ hat eine Polstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\\\infty ,&f{\mbox{ verschwindet in einer Umgebung von }}x\end{cases}}}$

Damit ist der Divisor einer Funktion tatsächlich ein Divisor nach der ersten Definition, wenn die Funktion auf jeder Zusammenhangskomponente von ${\displaystyle X}$ von der Nullfunktion verschieden ist. Für eine meromorphe 1-Form ${\displaystyle \omega }$ auf ${\displaystyle X}$ wird der Divisor ${\displaystyle (\omega )}$ wie bei einer Funktion definiert. Ein Divisor ${\displaystyle D}$ heißt kanonischer Divisor, wenn er sich als Divisor einer meromorphen 1-Form ${\displaystyle (\omega )}$ schreiben lässt, also wenn ${\displaystyle D=(\omega )}$.

Für eine kompakte riemannsche Fläche ist der Grad eines Divisors ${\displaystyle D}$ definiert durch ${\displaystyle \textstyle \deg D:=\sum _{x\in X}D(x)}$. Die Summe ist endlich, da aufgrund der Kompaktheit der Träger aus isolierten Punkten eine endliche Menge sein muss.

Sei ${\displaystyle X}$ eine kompakte riemannsche Fläche vom topologischen Geschlecht ${\displaystyle g\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\displaystyle D}$ ein Divisor auf ${\displaystyle X}$. Dann gilt:

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg D+1-g}$

${\displaystyle K}$ steht für einen beliebigen kanonischen Divisor auf ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle \ell (E)}$ bezeichnet für einen Divisor ${\displaystyle E}$ die Dimension des ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraums ${\displaystyle L(E)}$ der meromorphen Funktionen auf ${\displaystyle X}$, deren Null- und Polstellen durch den Divisor wie folgt eingeschränkt werden:

${\displaystyle L(E):=\left\{f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}{\mbox{ meromorph}}\,|\,\left(f\right)(x)\geq -E(x)\;\forall \,x\in X\right\}}$

Für nicht-singuläre projektive algebraische Kurven ${\displaystyle X}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle K}$ wird der Satz von Riemann-Roch üblicherweise mit Hilfe der Kohomologietheorie formuliert.

Er lautet dann:

${\displaystyle \dim _{K}H^{0}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)-\dim _{K}H^{1}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)=1-g}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ist die Garbe der regulären Funktionen auf ${\displaystyle X}$. Anstelle des topologischen Geschlechts tritt das arithmetische Geschlecht der Kurve, welches im Falle ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ mit dem topologischen zusammenfällt. Der Dualitätssatz von Serre besagt, dass die Formulierung im Falle ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ mit der des Abschnitts über riemannsche Flächen übereinstimmt.

• Als ein erstes Klassifikationsresultat folgt sofort, dass jede riemannsche Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle 0}$ isomorph ist zur riemannschen Sphäre ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$, insbesondere kann also auf der Sphäre ${\displaystyle {S}^{2}}$ nur eine einzige holomorphe Struktur definiert werden. Für nicht-singuläre projektive Kurven vom Geschlecht ${\displaystyle 0}$ gilt entsprechend, dass sie birational äquivalent zu ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ sind.
• Die Formel von Riemann-Hurwitz über das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen zwischen zwei kompakten riemannschen Flächen bzw. über das Abbildungsverhalten von Morphismen zwischen zwei nicht-singulären projektiven Kurven.
• Ein Einbettungssatz: Jede kompakte riemannsche Fläche bzw. jede nicht-singuläre projektive Kurve kann in den projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ eingebettet werden.

• Satz von Riemann-Roch-Hirzebruch
• Satz von Riemann-Roch-Grothendieck
• Atiyah-Singer-Indexsatz

• Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics 81). Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7).
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 0-387-90244-9.
• Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-57053-5.
• Jeremy Gray, The Riemann-Roch theorem and geometry, 1854-1914, ICM Berlin 1998, Documenta Mathematica, 1998, S. 811–822