Ricci-Fluss

Richard S. Hamilton hat gezeigt, dass für eine abgeschlossene Riemannsche ${\displaystyle C^{\infty }}$-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle C^{\infty }}$-Anfangsmetrik ${\displaystyle g_{0}}$ der Ricci-Fluss auf ${\displaystyle M}$ eine gewisse Zeit lang existiert, d. h. die Ricci-Gleichung besitzt eine eindeutige ${\displaystyle C^{\infty }}$-Lösung ${\displaystyle g(t)}$ für ein kleines Zeitintervall ${\displaystyle [0,t_{0}),t_{0}\in (0,\infty ]}$ mit ${\displaystyle g(0)=g_{0}}$. Dies wird als Kurzzeitexistenz bezeichnet.

Für eine glatte kompakte 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit einer Riemannschen Metrik ${\displaystyle g_{0}}$ mit positiver Ricci-Krümmung konnte Hamilton außerdem zeigen, dass der Ricci-Fluss auf ${\displaystyle M}$ zu einer Metrik konstanter positiver Schnittkrümmung konvergiert.

Es folgt daraus, dass die 3-Mannigfaltigkeit entweder die 3-Sphäre oder ein Quotient aus der 3-Sphäre sein muss.

Hamilton verwendete 1997 einen chirurgisch-modifizierten Ricci-Fluss um 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten mit positiver isotropischer Krümmung zu klassifizieren (Ricci-Fluss mit Chirurgie, Ricci flow with surgery)[2]: Wenn eine Singularität auftritt, hat eine Umgebung der Singularität eine genau kontrollierbare Struktur, so dass sich diese Umgebung abschneiden lässt und durch eine Kappe (Halbsphäre plus Zylinder) ersetzen lässt. Auf dieser veränderten Mannigfaltigkeit lässt man den Fluss dann weiterfließen. Die Schwierigkeit dieser Methode liegt darin, Abschätzungen gewisser Größen auf die veränderte Mannigfaltigkeit zu übertragen und dadurch zu garantieren, dass sich die Zeitpunkte, an denen Singularitäten auftreten, nicht häufen können.

Grigori Perelman verwendete eine ähnliche Methode für den 3-dimensionalen Fall ohne Voraussetzungen und bewies dadurch die Poincaré-Vermutung.