Rentenbarwertfaktor

Der Rentenbarwert ergibt sich als Summe der abgezinsten Zahlungen:

${\displaystyle {\text{Rentenbarwert}}=\sum _{t=1}^{T}{Z(t) \over \left(1+i\right)^{t}}}$

wobei

• ${\displaystyle Z}$ Zahlungen
• ${\displaystyle T}$ Anzahl der Perioden
• ${\displaystyle i}$ Zinssatz für eine jede solche Periode.

Im Sonderfall konstanter Zahlungen kann der Rentenbarwertfaktor (RBF) abgeleitet werden, der multipliziert mit der konstanten Rate den Rentenbarwert ergibt:[1]

${\displaystyle {\text{Rentenbarwert}}={{\text{RBF}}\left(i,T\right)}\cdot {\text{Rente}}}$

Der Rentenbarwertfaktor für eine nachschüssige Rente errechnet sich durch: ${\displaystyle {{\text{RBF}}\left(i,T\right)}={\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}={\frac {1-(1+i)^{-T}}{i}}={\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i{\big (}1+i{\big )}^{T}}}}$

Die finanzmathematische Formel ermöglicht es, den Barwert einer gleichförmigen Reihe von Zahlungen (Rentenzahlung) zu ermitteln. Der Rentenbarwertfaktor ist ein Teil der Annuitätenmethode der klassischen, dynamischen Investitionsrechnung.

Die Gleichung:

${\displaystyle {\text{Rentenbarwert}}={{\text{Rente}}\cdot {\text{RBF}}\left(i,T\right)}={Z_{0}\cdot {\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}}}$

mit

• ${\displaystyle T}$ Anzahl der Perioden
• ${\displaystyle Z_{0}=Z(1)=Z(2)=...=Z(T)}$ Zahlung für eine jede solche Periode
• ${\displaystyle i}$ Zinssatz für eine jede solche Periode

lässt sich wie folgt herleiten:[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Rentenbarwert}}&=\sum _{t=1}^{T}{Z(t) \over \left(1+i\right)^{t}}=Z_{0}\sum _{t=1}^{T}{1 \over \left(1+i\right)^{t}}=Z_{0}\sum _{t=0}^{T-1}{1 \over \left(1+i\right)^{t+1}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ &=Z_{0}\sum _{t=0}^{T-1}q^{t+1}\\&=Z_{0}q\sum _{t=0}^{T-1}q^{t}\\&=Z_{0}q\left({\frac {1-q^{T}}{1-q}}\right)\\&=Z_{0}{\frac {q}{1-q}}(1-q^{T})\end{aligned}}}$

Resubstitution:

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad \quad \quad \quad \quad \quad &=Z_{0}{\frac {1}{i}}\left({\frac {(1+i)^{T}}{(1+i)^{T}}}-{\frac {1}{(1+i)^{T}}}\right)\\&=Z_{0}\cdot {\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}\end{aligned}}}$

Der Rückgriff auf die (Partialsummen-)Formel der geometrische Reihe ist bei der Herleitung zu beachten.

Ist der Zinssatz ${\displaystyle i}$ null, so gilt:

${\displaystyle {{\text{RBF}}\left(0,T\right)}=T}$

Strebt der Zeitraum ${\displaystyle T}$ gegen unendlich, ergibt sich:

${\displaystyle {{\text{RBF}}\left(i,\infty \right)}={\frac {1}{i}}}$

Ist der Zeitpunkt, in der die Erste der konstanten Zahlungen fließt, nicht ${\displaystyle t=1}$, sondern, ${\displaystyle t=n}$, so bestimmt man den Rentenbarwertfaktor zur Berechnung des Barwertes der Zahlungen zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ mittels:

${\displaystyle {{\text{RBF}}\left(i,T,n\right)}={\frac {(1+i)^{T}-(1+i)^{n-1}}{(1+i)^{T+n-1}\cdot i}}}$

Der Reziprokwert (Kehrwert) des Rentenbarwertfaktors ergibt den Annuitätsfaktor (ANF): ${\displaystyle {\text{ANF}}\left(i,T\right)={\frac {1}{{\text{RBF}}\left(i,T\right)}}}$

Der Annuitätsfaktor wird auch als Wiedergewinnungsfaktor oder Kapitalwiedergewinnungsfaktor bezeichnet.

Für eine Rente, welche jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 %

${\displaystyle {{\text{RBF}}\left(5\,\%,10\right)}=7{,}722}$

Für eine Rente, welche in 5 Jahren(ab dem 01.01. des 6. Jahres) jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 %

${\displaystyle {{\text{RBF}}\left(5\,\%,15,6\right)}=6{,}050}$

• Rentenendwertfaktor
• Abzinsung und Aufzinsung

1. Peter Dörsam: Grundlagen der Investitionsrechnung anschaulich dargestellt. 6. Auflage. PD-Verlag, Heidenau 2011, ISBN 978-3-86707-406-3
2. Bitz, Ewert & Terstege: Investition. 1. Auflage. Gabler Verlag, Wiesbaden 2002, ISBN 978-3-322-86985-2 [S. 58ff]