Reidsche Ungleichung

Seien ${\displaystyle H}$ ein Hilbertraum und ${\displaystyle A,B}$ stetige lineare Operatoren auf ${\displaystyle H}$, so dass gilt:

• ${\displaystyle A}$ ist ein positiver Operator, das heißt ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in H}$
• ${\displaystyle AB}$ ist selbstadjungiert, das heißt ${\displaystyle \langle ABx,y\rangle =\langle x,ABy\rangle }$ für alle ${\displaystyle x,y\in H}$.

Dann gilt ${\displaystyle |\langle ABx,x\rangle |\leq \|B\|\langle Ax,x\rangle }$ für alle ${\displaystyle x\in H}$.

Der Beweis kann mit elementaren Mitteln geführt werden, das heißt ohne Spektraltheorie oder Funktionalkalkül. Im Wesentlichen handelt es sich um eine geschickte Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die positiv semidefinite Sesquilinearform ${\displaystyle (x,y)\to \langle Ax,y\rangle }$ auf ${\displaystyle H}$.

• Sind die positiven Operatoren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ vertauschbar, das heißt ${\displaystyle AB=BA}$, so ist auch ${\displaystyle AB}$ positiv.

Zum Beweis sei ${\displaystyle I}$ der identische Operator auf dem zu Grunde liegenden Hilbertraum. Ohne Einschränkung ist ${\displaystyle \|B\|\leq 1}$. Dann ist auch ${\displaystyle 0\leq I-B\leq 1}$ und daher ${\displaystyle \|I-B\|\leq 1}$. Da ${\displaystyle A}$ auch mit ${\displaystyle I-B}$ vertauscht, ist ${\displaystyle A(I-B)}$ selbstadjungiert, und die reidsche Ungleichung liefert ${\displaystyle \langle A(I-B)x,x\rangle \leq \|I-B\|\langle Ax,x\rangle \leq \langle Ax,x\rangle }$. Also ist ${\displaystyle A-AB=A(I-B)\leq A}$, das heißt ${\displaystyle AB\geq 0}$.

Die Beweisführung dieses wichtigen Resultats mit Hilfe der reidschen Ungleichung erfordert nur elementare Hilfsmittel. Mit fortgeschrittener Theorie kann man dieses Ergebnis ebenso schnell erhalten. Dann betrachtet man die von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ erzeugte C*-Algebra, die, da kommutativ, nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra stetiger Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ ist, und obige Anwendung reduziert sich auf die Tatsache, dass das Produkt zweier stetiger Funktionen ${\displaystyle X\mapsto \mathbb {R} _{0}^{+}}$ wieder eine solche Funktion ist.

• W. T. Reid: Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hilbert space, Duke Mathematical Journal, Band 18, Seiten 41–56, (1951)
• Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 1975