Regulärer G-Raum

Sei ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte Gruppe, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, und sei ${\displaystyle S}$ ein Standard-Borel-Raum. Die Gruppe wirke durch messbare Abbildungen und erhalte die Klasse eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle \mu }$. Man erhält dann eine isometrische Wirkung ${\displaystyle R}$ von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle L^{1}(S,\mu )}$ durch

${\displaystyle (R(g)\cdot f)(s)=f(g^{-1}\cdot s){\frac {d(g^{-1}\mu )}{d\mu }}(s),}$

wobei ${\displaystyle {\frac {d(g^{-1}\mu )}{d\mu }}}$ die Radon-Nikodym-Ableitung bezeichnet. Der ${\displaystyle G}$-Raum ${\displaystyle S}$ heißt regulär, wenn ${\displaystyle R}$ eine stetige Wirkung ist.

Sei ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte Gruppe, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Dann sind die folgenden Beispiele reguläre G-Räume.

• ${\displaystyle G}$ mit dem Haar-Maß und der Wirkung durch Konjugation auf sich,
• ${\displaystyle G/Q}$ mit dem natürlichen fast-invarianten Maß für eine abgeschlossene Untergruppe ${\displaystyle Q\subset G}$,
• der Furstenberg-Rand für ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle G}$.

• N. Monod: Continuous bounded cohomology of locally compact groups, Lecture Notes in Mathematics 1758, Springer-Verlag, Berlin 2001.