Reguläre Primzahl

Eine Primzahl ${\displaystyle p>2}$ heißt regulär, wenn sie keinen der Zähler (in vollständig gekürzter Darstellung) der Bernoulli-Zahlen ${\displaystyle B_{2},B_{4},\ldots ,B_{p-3}}$ teilt.

Kummer zeigte im Nachhinein, dass dies äquivalent zur Bedingung ist, dass ${\displaystyle p}$ nicht die Klassenzahl des ${\displaystyle p}$-ten Kreisteilungskörpers teilt.

Eine schon lange offene Frage ist, ob es unendlich viele reguläre Primzahlen gibt. Seit Kummer steht die Vermutung im Raum, dass dies der Fall ist.[1] Man vermutet weiter, dass ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-1/2}\approx 61\,\%}$ aller Primzahlen regulär sind.

Es ist bekannt, dass es unendlich viele irreguläre Primzahlen gibt (Satz von K. L. Jensen 1915[2][3]).

Der Satz von Kummer besagt:[4][5]

Die Fermatsche Vermutung ist richtig, soweit der Exponent in der Fermatschen Gleichung eine reguläre Primzahl ist.

Ein möglicher Beweis dessen ist folgender:

Angenommen ${\displaystyle p}$ ist eine reguläre Primzahl, und es gilt ${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}$ mit teilerfremden ganzen Zahlen ${\displaystyle a,b,c}$, wobei keine der Zahlen ${\displaystyle a,b,c}$ durch ${\displaystyle p}$ teilbar sei (diese Bedingung wird "Fall I" genannt). Bezeichnet ${\displaystyle \zeta }$ eine primitive ${\displaystyle p}$-te Einheitswurzel, so lässt sich die linke Seite der Gleichung faktorisieren als

${\displaystyle (a+b)(a+\zeta b)(a+\zeta ^{2}b)\cdots (a+\zeta ^{p-1}b),}$

und man kann zeigen, dass diese Faktoren im Ganzheitsring ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$ paarweise teilerfremd sind. Da ihr Produkt ${\displaystyle c^{p}}$ eine ${\displaystyle p}$-te Potenz ist, sind auch die einzelnen Faktoren ${\displaystyle p}$-te Potenzen von Idealen, insbesondere also

${\displaystyle (a+\zeta b)={\mathfrak {a}}^{p}.}$

An dieser Stelle kann nun die Regularität von ${\displaystyle p}$ verwendet werden: Die Ordnung von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ in der Idealklassengruppe kann ${\displaystyle p}$ nicht teilen, da sie Teiler der Klassenzahl sein muss. Jedoch ist ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{p}}$ das neutrale Element in der Idealklassengruppe, da ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{p}}$ Hauptideal ist. Also kann die Ordnung von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ nur 1 sein, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ selbst ist ein Hauptideal.

Das bedeutet: Es gibt eine Einheit ${\displaystyle u}$ und ein Element ${\displaystyle t\in {\mathcal {O}}}$, so dass

${\displaystyle a+\zeta b=u\cdot t^{p}}$

gilt.

Diese Gleichung führt nun auf dem Weg über Kongruenzbetrachtungen modulo ${\displaystyle p}$ zum Widerspruch.

Der Satz von Kummer ist ein Meilenstein auf dem Weg zur Lösung des Fermat-Problems. Durch die dabei entwickelten Methoden hat Kummer der späteren Entwicklung entscheidende Impulse gegeben.[6]

Originalarbeiten

• E. E. Kummer: Allgemeiner Beweis des Fermatschen Satzes, daß die Gleichung ${\displaystyle x^{\lambda }+y^{\lambda }=z^{\lambda }}$ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten ${\displaystyle \lambda }$, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten ½ ${\displaystyle (\lambda -3)}$ Bernoullischen Zahlen als Factoren nicht vorkommen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Band 40, 1850, S. 130–138 (digizeitschriften.de).
• K. L. Jensen: Om talteoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske Tal. In: Nyt Tidsskrift for Matematik. Afdeling B, Band 26, 1915, ZDB-ID 281026-8, S. 73–83.

Monographien

• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.
• Th. Skolem: Diophantische Gleichungen (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 5, 4, ISSN 0071-1136). Springer, Berlin 1938 (Nachdruck. Chelsea Publishing Company, New York NY 1950).

• Ausführlicher Beweis des großen fermatschen Satzes für reguläre Primzahlen (PDF; 137 kB, englisch)
• Originalbeweis von Kummer (eingebettetes PDF)
• Karl Dilcher: Bernoulli-Bibliography. Dalhousie University, Halifax, Kanada

1. Bundschuh: S. 182.
2. Jensen: Nyt Tidskr. f. Math. Band 26, S. 73 ff.
3. Bundschuh: S. 182.
4. Kummer: Crelles Journal. Band 40, S. 130 ff.
5. Skolem: S. 83.
6. Bundschuh: S. 182.