Reguläre Folge
Reguläre Folgen spielen in kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie eine Rolle. Sie werden benötigt, um die Tiefe eines Moduls und Cohen-Macaulay-Ringe zu definieren und um Aussagen über vollständige Durchschnitte zu machen.
Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.
Definitionen
Reguläre Folge
Wenn ein noetherscher Modul über einem Ring ist, so wird ein Element -regulär genannt, wenn aus für ein stets folgt.
Eine Folge von Elementen aus heißt -reguläre Folge, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Für ist das Bild von kein Nullteiler in
Der Zusatz „-“ wird weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, welcher Modul gemeint ist.
Der Spezialfall, wenn ein lokaler Ring ist und der Modul selbst ist, ist am wichtigsten. In diesem Fall liegen alle Folgenglieder im maximalen Ideal.
Reguläres Parametersystem
Ist lokal und das maximale Ideal, dann wird ein minimales Erzeugendensystem von ein reguläres Parametersystem genannt.
Eigenschaften
- Eine maximale -reguläre Folge ist endlich und alle maximalen -regulären Folgen haben dieselbe Länge.
- Ist ein endlicher Modul über einem noetherschen lokalen Ring und ist eine reguläre Folge, so ist:
( ist die Dimension von .)
- Für einen regulären Ring lokalen mit maximalem Ideal und ist äquivalent:
- ist Teil eines regulären Parametersystems
- (modulo ) ist eine linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums über dem Körper .
Insbesondere ist ein minimales Erzeugendensystem von eine reguläre Folge.
- Ist umgekehrt ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal , das von einer regulären Folge der Länge erzeugt wird, so ist regulär und .
- Allgemein: Ist ein noetherscher lokaler Ring und eine reguläre Folge, dann ist jede Permutation der Folge regulär. (Das gilt nicht für beliebige noethersche Ringe.)
Beispiele
- Im Polynomring über einem Körper ist jede Folge der Variablen eine -reguläre Folge.
- Der lokale Ring Körper entspricht geometrisch dem Schnittpunkt zweier affinen Flächen im vierdimensionalen Raum. Der Ring ist zweidimensional, aber reguläre Folgen haben die Länge 1, da der Ring modulo einem Nichtnullteiler, der keine Einheit ist, nur Nullteiler und Einheiten enthält. Insbesondere ist dieser Ring kein Cohen-Macaulay-Ring.
Literatur
- Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
- Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
- Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
- Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9