Distribution (Mathematik)

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene, nichtleere Menge. Eine Distribution ${\displaystyle T}$ ist ein stetiges und lineares Funktional auf dem Raum der Testfunktionen ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$.

In anderen Worten eine Abbildung ${\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {C} }$ bzw. ${\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {R} }$, so dass für alle ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}\in {\mathcal {D}}(\Omega )}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ gilt

${\displaystyle T(\phi _{1}+\lambda \phi _{2})=T(\phi _{1})+\lambda T(\phi _{2})}$

und

${\displaystyle T(\phi _{n})\to T(\phi )}$

wann immer ${\displaystyle \phi _{n}\to \phi }$ in ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$.

Die Menge der Distributionen ist mit den entsprechenden Verknüpfungen der Addition und der Skalarmultiplikation also der topologische Dualraum zum Testfunktionenraum ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ und wird daher als ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ notiert. Das Zeichen ${\displaystyle '}$ bezeichnet in der Funktionalanalysis den topologischen Dualraum. Um überhaupt von Stetigkeit und topologischem Dualraum sprechen zu können, muss der Raum der Testfunktionen mit einer lokalkonvexen Topologie ausgestattet sein.

Oft verwendet man daher die folgende Charakterisierung als alternative Definition, da diese ohne die Topologie des Testfunktionenraums auskommt und kein Wissen über lokalkonvexe Räume erforderlich ist:

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Menge. Ein lineares Funktional ${\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {C} }$ heißt Distribution, wenn für jedes Kompaktum ${\displaystyle K\subset \Omega }$ ein ${\displaystyle C>0}$ und ein ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ existieren, sodass für alle Testfunktionen ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(K)}$ die Ungleichung

${\displaystyle |T(\phi )|\leq C\|\phi \|_{C_{b}^{k}(K)}:=C\sum _{|\alpha |\leq k}^{}\sup _{x\in K}\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|}$

gilt. Diese Definition ist äquivalent zu der zuvor gegebenen, denn die Stetigkeit des Funktionals ${\displaystyle T}$ folgt aus dieser Ungleichung, obwohl sie nicht für ganz ${\displaystyle \Omega }$ gelten muss, weil ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ als (LF)-Raum bornologisch ist.

Kann in der obigen alternativen Definition für alle Kompakta ${\displaystyle K}$ dieselbe Zahl ${\displaystyle k}$ gewählt werden, so wird das kleinstmögliche ${\displaystyle k}$ als Ordnung von ${\displaystyle T}$ bezeichnet. Die Menge der Distributionen der Ordnung ${\displaystyle k}$ wird mit ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(\Omega )}$ bezeichnet und mit ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'_{F}(\Omega ):=\bigcup _{k}{\mathcal {D}}'^{k}(\Omega )}$ notiert man die Menge aller Distributionen mit endlicher Ordnung. Dieser Raum ist kleiner als der allgemeine Distributionenraum ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}$, denn es gibt auch Distributionen, die nicht von endlicher Ordnung sind.

Eine besondere Teilmenge der Distributionen sind die regulären Distributionen. Diese Distributionen werden durch eine lokal integrierbare Funktion ${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ erzeugt. Präzise bedeutet dies, dass eine Distribution ${\displaystyle T}$ regulär genannt wird, wenn es eine Darstellung

${\displaystyle T_{f}(\phi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(t)\phi (t)\mathrm {d} t}$

gibt, bei der ${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine lokal integrierbare Funktion ist. Distributionen, die nicht regulär sind werden singulär genannt; dies sind Distributionen, für die es keine erzeugende Funktion ${\displaystyle f}$ im Sinn dieser Definition gibt.

Diese Integraldarstellung einer regulären Distribution motiviert zusammen mit dem Skalarprodukt im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ die alternative Schreibweise

${\displaystyle (T,\phi ):=T(\phi )}$

für alle (nicht nur reguläre) Distributionen.

In der Definition der Distribution ist der Begriff der Testfunktion beziehungsweise der des Testfunktionenraums zentral. Dieser Testfunktionenraum ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger zusammen mit einer induzierten Topologie. Eine Topologie auf dem Testfunktionenraum zu wählen ist sehr wichtig, weil sonst der Begriff der Stetigkeit nicht sinnvoll definiert werden kann. Die Topologie wird auf dem Raum durch einen Konvergenzbegriff festgelegt.

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge, dann bezeichnet

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )=\{\phi \in C^{\infty }(\Omega )\mid \operatorname {supp} \,(\phi )\mathrm {~ist~kompakte~Teilmenge~von~} \Omega \}}$

die Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die einen kompakten Träger haben, also außerhalb einer kompakten Menge gleich null sind. Der Konvergenzbegriff wird festgelegt, indem man definiert: Eine Folge ${\displaystyle (\phi _{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle \phi _{j}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ konvergiert gegen ${\displaystyle {\phi }}$, wenn es ein Kompaktum ${\displaystyle K\subset \Omega }$ gibt mit ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{j})\subset K}$ für alle ${\displaystyle j}$ und

${\displaystyle \lim _{j\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\left(\phi _{j}(x)-\phi (x)\right)\right|=0}$

für alle Multiindizes ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$. Die Menge ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ist – ausgestattet mit diesem Konvergenzbegriff – ein lokalkonvexer Raum, den man Raum der Testfunktionen nennt und als ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ notiert.

Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle f\in C(\Omega )}$, so ist durch

${\displaystyle T(\phi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x}$

für alle ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ eine Distribution ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ definiert.

Die Delta-Distribution wird durch die Funktionenfolge ${\displaystyle \textstyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}$ approximiert. Für alle ${\displaystyle a}$ bleibt der Flächeninhalt unter der Funktion gleich Eins.

Die Delta-Distribution ${\displaystyle \delta }$ ist eine singuläre Distribution. Das heißt, sie kann nicht durch eine gewöhnliche Funktion erzeugt werden, obwohl sie oft wie eine solche geschrieben wird. Es gilt:

${\displaystyle \delta (\phi ):=\phi (0).}$

Das heißt, die Delta-Distribution angewendet auf eine Testfunktion ${\displaystyle {\phi }}$ ergibt den Wert der Testfunktion an der Stelle 0. So wie jede andere Distribution kann man auch die Delta-Distribution als Folge von Integraltermen ausdrücken. Die Dirac-Folge

${\displaystyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}$

hat den Grenzwert (vergleiche z. B. die nebenstehende Animation)

${\displaystyle {\mathrm {Gw} }(x):=\lim _{a\to 0}\delta _{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq 0\\\infty &x=0\end{cases}}\,,}$

was zu dem verschwindenden Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} }{\rm {Gw}}(x){\rm {d}}x=0}$ führen würde. Denn das Verhalten in nur einem Punkt fällt bei Integralen gewöhnlicher Funktionen nicht ins Gewicht.

Mit dieser Dirac-Folge kann man aber mit anderer Grenzwertbildung, vor dem Integral und nicht dahinter, die Delta-Distribution durch

${\displaystyle \delta (\phi )=\lim _{a\to 0}\int _{\mathbb {R} }\delta _{a}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0}\int _{\mathbb {R} }{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}\phi (x)\mathrm {d} x=\phi (0)}$

darstellen. Meistens wird allerdings die symbolische, zu mathematisch unpräziser Interpretation verleitende Schreibweise

${\displaystyle \delta (\phi )=\int _{\mathbb {R} }\delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x=\phi (0)}$

für die Delta-Distribution verwendet, wobei man den Ausdruck ${\displaystyle \delta (x)}$ als verallgemeinerte Funktion bezeichnet und oft sogar das Wort verallgemeinert weglässt.

Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm ${\displaystyle \Delta _{T}}$ mit ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$ ist eine periodische Distribution, die mit der diracschen Delta-Distribution eng verwandt ist. Diese Distribution ist für alle ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ definiert als

${\displaystyle \Delta _{T}(\phi ):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\phi (nT).}$

Diese Reihe konvergiert, da die Testfunktion ${\displaystyle {\phi }}$ kompakten Träger hat und daher nur endlich viele Summanden ungleich null sind. Eine äquivalente Definition ist

${\displaystyle \Delta _{T}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta _{nT},}$

wobei das Gleichheitszeichen als Gleichheit zwischen Distributionen zu verstehen ist. Die Reihe auf der rechten Seite konvergiert dann bezüglich der Schwach-*-Topologie. Auf die Konvergenz von Distributionen wird im Abschnitt Konvergenz näher eingegangen. Das in der Definition auftretende ${\displaystyle T}$ ist eine reelle Zahl, die man als Periode des Dirac-Kamms bezeichnet. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Delta-Distributionen zusammengesetzt, die im Abstand ${\displaystyle T}$ zueinander stehen. Der Dirac-Kamm hat im Gegensatz zur Delta-Distribution keinen kompakten Träger. Was dies genau bedeutet, wird im Abschnitt Kompakter Träger weiter unten erklärt.

Mit ${\displaystyle M(\Omega )}$ wird die Menge aller Radon-Maße bezeichnet. Sei ${\displaystyle \mu \in M(\Omega ).}$ Nun kann man mittels

${\displaystyle \mu \mapsto \left({\mathcal {D}}(\Omega )\ni \phi \mapsto \int _{\Omega }\phi (x)\mathrm {d} \mu (x)\right)}$

jedem ${\displaystyle \mu }$ eine Distribution zuordnen. Auf diese Weise kann man ${\displaystyle M(\Omega )}$ stetig in ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ einbetten. Ein Beispiel für ein Radon-Maß ist das Dirac-Maß ${\displaystyle \delta }$. Für alle ${\displaystyle A\subset \Omega }$ ist es definiert durch

${\displaystyle \delta (A):={\begin{cases}1\ ,&{\text{falls }}0\in A\ ,\\0\ ,&\mathrm {sonst} \ .\end{cases}}}$

Identifiziert man das Dirac-Maß mit der erzeugenden Distribution

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\ni \phi \mapsto \int _{\Omega }\phi (x)\mathrm {d} \delta (x)=\phi (0),}$

so erhält man die Delta-Distribution, falls ${\displaystyle 0\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ gilt.

Die Funktion ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$

Der cauchysche Hauptwert der Funktion ${\displaystyle \textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ kann ebenfalls als Distribution ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$ aufgefasst werden. Für alle ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ setzt man

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\phi )&:={\text{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x}}\mathrm {d} x\\&:=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{-\infty }^{-\varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x}}\mathrm {d} x\right).\end{aligned}}}$

Das ist eine singuläre Distribution, da der Integralausdruck im lebesgueschen Sinn nicht definiert ist und nur als cauchyscher Hauptwert existiert. Dabei steht die Abkürzung PV für principal value.

Diese Distribution wird meist zusammen mit der Dispersionsrelation ${\displaystyle \textstyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\tfrac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\,=\,{\rm {PV}}({\tfrac {1}{x}})+\mathrm {i} \pi \delta (x)}$ (Plemelj-Sokhotsky-Formel) benutzt, wobei alle Distributionen, insbesondere ${\displaystyle \delta (\phi )}$ und ${\displaystyle T(\phi ),}$ wie angegeben durch verallgemeinerte Funktionen ausgedrückt sind und ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Diese Beziehung verbindet in der linearen Antworttheorie Real- und Imaginärteil einer Antwortfunktion, siehe Kramers-Kronig-Beziehungen. (An dieser Stelle wird angenommen, dass die Testfunktionen ${\displaystyle \phi }$ komplex sind, also ${\displaystyle \phi \in \mathbb {C} }$, und auch die gerade angesprochenen Antwortfunktionen; aber das Argument ${\displaystyle x}$ soll nach wie vor reell sein, obwohl natürlich ${\displaystyle x-\mathrm {i} \varepsilon }$ komplex ist, und nicht reell.)

Für alle Symbole ${\displaystyle a\in S_{1,0}^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})}$ nennt man

${\displaystyle I(a)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x,\xi \rangle }a(x,\xi )\mathrm {d} \xi }$

ein oszillierendes Integral. Dieser Integraltyp konvergiert je nach Wahl von ${\displaystyle m}$ nicht im Riemann- oder Lebesguesinn, sondern nur im Sinn von Distributionen.

Seien ${\displaystyle Y\subset \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ offene Teilmengen und sei ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ eine Distribution. Die Einschränkung ${\displaystyle T|_{Y}}$ von ${\displaystyle T}$ auf die Teilmenge ${\displaystyle Y}$ ist definiert durch

${\displaystyle T|_{Y}(\phi )\colon =T({\tilde {\phi }})}$

für alle ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(Y)}$, wobei ${\displaystyle {\tilde {\phi }}\in {\mathcal {D}}(\Omega )}$ das auf ${\displaystyle \Omega \setminus Y}$ durch null fortgesetzte ${\displaystyle \phi }$ ist.[5]

Sei ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ zum Träger von ${\displaystyle T}$ gehört und schreibt ${\displaystyle x_{0}\in \mathrm {supp} (T)}$, wenn für jede offene Umgebung ${\displaystyle U\subset \Omega }$ von ${\displaystyle x_{0}}$ eine Funktion ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$ existiert mit ${\displaystyle T(\phi )\neq 0}$.[6]

Falls ${\displaystyle T}$ eine reguläre Distribution ${\displaystyle T=T_{f}}$ mit stetigem ${\displaystyle f}$ ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion ${\displaystyle f}$).

Eine Distribution ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ hat einen kompakten Träger, wenn ${\displaystyle \mathrm {supp} (T)}$ ein kompakter Raum ist. Die Menge der Distributionen mit kompaktem Träger wird mit ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ bezeichnet. Sie ist ein Untervektorraum von ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ und der topologische Dualraum zu ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, dem Raum der glatten Funktionen ${\displaystyle C^{\infty }}$. Auf diesem Raum wird durch die Familie von Halbnormen

${\displaystyle \phi \mapsto \sum _{|\alpha |\leq m}\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\phi (x)\right|}$,

wobei ${\displaystyle m}$ beliebige Werte aus ${\displaystyle \mathbb {N} }$ annimmt und ${\displaystyle K}$ alle kompakten Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ durchläuft, eine lokalkonvexe Topologie erzeugt.

Sei ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ nicht zum singulären Träger ${\displaystyle \mathrm {sing\,supp} (T)}$ gehört, wenn es eine offene Umgebung ${\displaystyle U\subset \Omega }$ von ${\displaystyle x_{0}}$ und eine Funktion ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ gibt mit

${\displaystyle T(\phi )=\int _{U}f(x)\phi (x)\mathrm {d} x}$

für alle ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(U)}$.

Anders gesagt: ${\displaystyle x_{0}\in \mathrm {sing\,supp} (T)}$ genau dann, wenn es keine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x_{0}}$ gibt, sodass die Einschränkung von ${\displaystyle T}$ auf ${\displaystyle U}$ gleich einer glatten Funktion ist. Insbesondere ist der singuläre Träger einer singulären Distribution nicht leer.[7]

Sei ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ und ${\displaystyle a\in C^{\infty }(\Omega )}$. Dann wird die Distribution ${\displaystyle aT\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ definiert durch

${\displaystyle \forall \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )\colon (aT)(\phi ):=T(a\phi )}$.

Betrachtet man eine stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle f}$ und die ihr zugeordnete reguläre Distribution ${\displaystyle T_{f}}$, so erhält man die Rechenregel

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{f^{\prime }},\varphi )&=\int _{\Omega }f^{\prime }(t)\varphi (t)\,\mathrm {d} t\\&=-\int _{\Omega }f(t)\varphi ^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t\\&=-(T_{f},\varphi ^{\prime }).\end{aligned}}}$

Hierbei wurde partielle Integration verwendet, wobei die Randterme wegen der gewählten Eigenschaften der Testfunktion ${\displaystyle \varphi }$ wegfallen. Dies entspricht der schwachen Ableitung. Die beiden äußeren Terme sind auch für singuläre Distributionen definiert. Man verwendet dies zur Definition der Ableitung einer beliebigen Distribution ${\displaystyle T}$.

Sei also ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ eine Distribution, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$ ein Multiindex und ${\displaystyle x\in \Omega }$. Dann ist die Distributionsableitung ${\displaystyle \partial _{x}^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ definiert durch

${\displaystyle (\partial _{x}^{\alpha }T)(\phi ):=(-1)^{|\alpha |}T(\partial _{x}^{\alpha }\phi ),\quad \forall \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )}$.

Im eindimensionalen Fall bedeutet dies gerade

${\displaystyle T'(\varphi )=-T(\varphi ')}$.

Häufig verwendet man für die Distributionsableitung auch die Notation ${\displaystyle D^{\alpha }T}$.

Die Heaviside-Funktion ${\displaystyle H\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist durch

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}0:&x\leq 0,\\1:&x>0,\end{cases}}}$

definiert. Sie ist mit Ausnahme der Stelle ${\displaystyle x=0}$ überall differenzierbar. Man kann sie als reguläre Distribution betrachten und die Rechnung

${\displaystyle {\begin{aligned}(H^{\prime },\phi )&=-(H,\phi ^{\prime })\\&=-\int _{0}^{\infty }1\cdot \phi ^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=\phi (0)\\&=(\delta ,\phi )\end{aligned}}}$

zeigt, dass ihre Ableitung (als Distribution) die Delta-Distribution ist:

${\displaystyle H^{\prime }=\delta .}$

Man kann außerdem die Delta-Distribution selbst ableiten:

${\displaystyle \left(\delta ^{(n)},\phi \right)=(-1)^{n}\left(\delta ,\phi ^{(n)}\right)=(-1)^{n}\phi ^{(n)}(0)}$

Die Ableitungen der Delta-Distribution sind also bis auf den zusätzlichen Vorzeichenfaktor ${\displaystyle (-1)^{n}}$ gleich den Ableitungen der Testfunktion an der Stelle ${\displaystyle x=0.}$

Sei die Menge ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2n}}$ als Produktraum ${\displaystyle G:=G_{1}\times G_{2}}$ mit ${\displaystyle G_{1},G_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ gegeben. Dann kann man auf den Funktionen ${\displaystyle f_{1}\in C^{\infty }(G_{1})}$ und ${\displaystyle f_{2}\in C^{\infty }(G_{2})}$ mittels der Vorschrift

${\displaystyle (f_{1}\otimes f_{2})(x,y)\mapsto f_{1}(x)f_{2}(y)}$

ein Tensorprodukt definieren. Analog dazu kann man ein Tensorprodukt zwischen Distributionen definieren. Dazu werden zuerst reguläre Distributionen betrachtet. Seien ${\displaystyle f_{1}\in L_{loc}^{1}(G_{1})}$ und ${\displaystyle f_{2}\in L_{loc}^{1}(G_{2})}$ zwei lokal-integrierbare Funktionen, so folgt aus obiger Definition

${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{1}\otimes f_{2})(\phi )=&\int _{G_{1}\times G_{2}}f_{1}(x)f_{2}(y)\phi (x,y)\mathrm {d} (x,y)\\=&\int _{G_{1}}f_{1}(x)\int _{G_{2}}f_{2}(y)\phi (x,y)\mathrm {d} y\mathrm {d} x\\=&\int _{G_{2}}f_{2}(y)\int _{G_{1}}f_{1}(x)\phi (x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

für alle ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(G_{1}\times G_{2}).}$ Daraus folgt

${\displaystyle (f_{1}\otimes f_{2})(\phi )=T_{f_{1}}(T_{f_{2}}(\phi ))=T_{f_{2}}(T_{f_{1}}(\phi )).}$

Hieraus leitet man folgende Definition ab:

Seien ${\displaystyle T_{1}\in {\mathcal {D}}'(G_{1})}$ und ${\displaystyle T_{2}\in {\mathcal {D}}'(G_{2})}$. Dann ist ${\displaystyle T_{1}\otimes T_{2}}$ eine Distribution aus ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(G_{1}\times G_{2})}$, die durch

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{1}\otimes T_{2})(\phi )&:=T_{1}(T_{2}(\phi ))=T_{2}(T_{1}(\phi ))\\\end{aligned}}}$

definiert ist.

Distributionen können gezielt geglättet bzw. verschmiert bzw. approximiert werden, z. B., indem man die ${\displaystyle \delta }$-Distribution durch die reguläre Distribution einer glatten Approximationsfunktionen ersetzt, wie z. B. die ${\displaystyle \delta }$-Distribution durch die reguläre Distribution

${\displaystyle T_{\delta _{a}}(\varphi )=\int \limits _{\Omega }\delta _{a}(x)\varphi (x)\mathrm {d} x}$

der oben definierte Funktion ${\displaystyle \delta _{a}(x)}$ oder die Heaviside-Distribution durch die reguläre Distribution der Integrale solcher Funktionen. Bei dreidimensionalen Differentialgleichungen kann man so z. B. feststellen, ob die Randbedingungen zu den Differentialgleichungen passen, die für das Innere gelten. Das ist für viele Anwendungen nützlich, zumal die Glättungsfunktionen, bis auf den Limes, nicht eindeutig vorgegeben sind, was zu erhöhter Flexibilität führt. Ebenso kann man auch gezielt Distributionen wie die obige PV-Distribution regularisieren, indem man z. B. die Testfunktionen mit geeigneten Faktoren versieht oder in anderer Weise vorgeht.

Sei ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ eine Distribution und ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ eine Funktion, dann ist die Faltung von ${\displaystyle T}$ mit ${\displaystyle \phi }$ definiert durch

${\displaystyle (T*\phi )(x):=T(\phi (x-\cdot ))}$.

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein Radon-Maß und sei ${\displaystyle T_{\mu }\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ die mit dem Radon-Maß identifizierte Distribution. Dann gilt für die Faltung von ${\displaystyle \mu }$ mit ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle (\mu *\phi )(x):=(T_{\mu }*\phi )(x)=T_{\mu }(\phi (x-\cdot ))=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x-y)\mathrm {d} \mu (y).}$

• Falls ${\displaystyle T}$ eine glatte Funktion ist, so stimmt die Definition mit der Faltung von Funktionen überein.
• Das Ergebnis der Faltung ist eine glatte Funktion, also gilt

  ${\displaystyle (T*\phi )\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$.

• Für ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ und ${\displaystyle \phi ,\psi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ist die Faltung assoziativ, das heißt, es gilt

  ${\displaystyle (T*\phi )*\psi =T*(\phi *\psi )\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$.

• Für jeden Multiindex ${\displaystyle \alpha }$ gilt für die Ableitung der Faltung

  ${\displaystyle \partial ^{\alpha }(T*\phi )=(\partial ^{\alpha }T)*\phi =T*(\partial ^{\alpha }\phi )}$.

Seien ${\displaystyle T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}}$ zwei Distributionen, von denen mindestens eine kompakten Träger hat. Dann ist für alle ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ die Faltung zwischen diesen Distributionen definiert durch

${\displaystyle (T_{1}*T_{2})*\phi =T_{1}*(T_{2}*\phi )}$.

Die Abbildung

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\ni \phi \mapsto T_{1}*(T_{2}*\phi )}$

ist linear, stetig und kommutiert mit Verschiebungen. Daher gibt es eine eindeutige Distribution ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$, sodass

${\displaystyle T_{1}*(T_{2}*\phi )=T*\phi }$

für alle ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ gilt.

Bemerkung: Die Bedingung, dass eine Distribution kompakten Träger hat, kann noch weiter abgeschwächt werden.

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der hier schon erwähnten Definitionen. Wählt man für ${\displaystyle T_{i}}$ eine reguläre Distribution, also eine Funktion, so entspricht dies den hier aufgeführten Definitionen. Es gelten die Eigenschaften:

• Die Faltung ist kommutativ:

  ${\displaystyle T_{1}*T_{2}=T_{2}*T_{1}}$

• Für den Träger gilt:

  ${\displaystyle \operatorname {supp} (T_{1}*T_{2})\subseteq \operatorname {supp} (T_{1})+\operatorname {supp} (T_{2})}$

• Für den singulären Träger erhält man:

  ${\displaystyle \operatorname {sing} \,\operatorname {supp} (T_{1}*T_{2})\subseteq \operatorname {sing} \,\operatorname {supp} (T_{1})+\operatorname {sing} \,\operatorname {supp} (T_{2})}$

Um eine Fourier-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ auf Distributionen definieren zu können, muss man die Menge der Distributionen erst einschränken. Nicht jede Funktion ist fouriertransformierbar, analog dazu kann man auch nicht für jede Distribution die Fouriertransformierte erklären. Aus diesem Grund entwickelte Laurent Schwartz den heute nach ihm benannten Schwartz-Raum ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$, indem er diesen Raum über eine Familie von Halbnormen definierte, die bezüglich der Multiplikation mit der Ortsvariablen ${\displaystyle x}$ und der Differentiation danach symmetrisch ist. Weil die Fouriertransformation Differentiation nach ${\displaystyle x}$ und Multiplikation mit ${\displaystyle x}$ vertauscht, impliziert diese Symmetrie, dass die Fouriertransformierte einer Schwartz-Funktion wieder eine Schwartz-Funktion ist. Auf diesem Raum ist daher die Fourier-Transformation ein Automorphismus, also eine stetige, lineare und bijektive Abbildung auf sich selbst. Der topologische Dualraum ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$, also der Raum der stetigen, linearen Funktionale von ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$, heißt Raum der temperierten Distributionen. Die Menge der temperierten Distributionen ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$ ist umfangreicher als die Menge der Distributionen mit kompaktem Träger, ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$, was daran liegt, dass die Menge der Schwartz-Funktionen eine Teilmenge des Raums der glatten Funktionen ist. Je kleiner ein Funktionenraum ist, desto größer ist nämlich sein Dualraum. Daher ist auch die Menge der temperierten Distributionen im Raum ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ enthalten. Denn die Menge der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ist eine Teilmenge des Schwartz-Raums.

Die Fouriertransformation von ${\displaystyle T\in S'(\mathbb {R} ^{n})}$ kann für alle ${\displaystyle \phi \in S(\mathbb {R} ^{n})}$ durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}(T)(\phi ):=T({\mathcal {F}}(\phi ))}$

definiert werden. Auch auf ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ist die Fouriertransformation ein Automorphismus. Die Fouriertransformierte der Delta-Distribution ist eine konstante Distribution, ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {\delta }})(\phi )=(2\pi )^{-n/2}(\phi )}$. Ein anderes Beispiel für eine temperierte Distribution ist der oben schon erwähnte Dirac-Kamm.

Im Zusammenhang mit den obigen Definitionen der Faltung zweier Distributionen und der Fouriertransformation einer Distribution ist das Faltungstheorem interessant, das man wie folgt formulieren kann:

Sei ${\displaystyle T_{1}\in {\mathcal {S}}'(\Omega )}$ eine temperierte Distribution und ${\displaystyle T_{2}\in {\mathcal {E}}'(\Omega )}$ eine Distribution mit kompaktem Träger, dann gilt ${\displaystyle T_{1}*T_{2}\in {\mathcal {S}}'(\Omega )}$ und das Faltungstheorem für Distributionen besagt:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{1}*T_{2})=(2\pi )^{\tfrac {n}{2}}{\mathcal {F}}(T_{1})\cdot {\mathcal {F}}(T_{2}).}$

Die Multiplikation zweier Distributionen ist im Allgemeinen nicht definiert. In diesem besonderen Fall ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{1})\cdot {\mathcal {F}}(T_{2})}$ allerdings sinnvoll, weil ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{2})}$ eine glatte Funktion ist.

Sei

${\displaystyle P(x,\partial _{x})u=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial _{x}^{\alpha }u}$

ein Differentialoperator mit glatten Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle a_{\alpha }\in C^{\infty }(G)}$. Eine Distribution ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(G)}$ heißt Distributionenlösung von ${\displaystyle P(x,\partial _{x})u(x)=f(x)}$, falls die von ${\displaystyle P(x,\partial _{x})u}$ und ${\displaystyle f}$ erzeugten Distributionen übereinstimmen. Dies bedeutet

${\displaystyle P(x,\partial _{x})u(\phi )=f(\phi )}$

für alle ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(G)}$. Falls die Distribution ${\displaystyle u}$ regulär und sogar ${\displaystyle m}$-mal stetig differenzierbar ist, dann ist ${\displaystyle u}$ eine klassische Lösung der Differentialgleichung.

Alle distributionellen Lösungen der eindimensionalen Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}u(x)=0}$

sind die konstanten Funktionen. Das heißt, für alle ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ wird die Gleichung

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial u}{\partial x}}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }0\phi (x)\mathrm {d} x\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial u}{\partial x}}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=0}$

nur von konstantem ${\displaystyle u}$ gelöst.

Ein prominentes Beispiel ist die formale Identität

${\displaystyle \Delta \,{\frac {1}{|x-y|}}=-4\pi \,\delta (x-y)}$

aus der Elektrostatik, wobei mit ${\displaystyle \Delta }$ der Laplace-Operator bezeichnet wird. Präzise bedeutet das

${\displaystyle \Delta \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\phi (y)}{|x-y|}}\mathrm {d} ^{3}y=-4\pi \phi (x).}$

Das heißt

${\displaystyle U(x):=\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\phi (y)}{|x-y|}}\mathrm {d} ^{3}y}$

ist für alle ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{3})}$ eine Lösung der Poisson-Gleichung

${\displaystyle \Delta U(x)=-4\pi \phi (x).}$

Man sagt auch, dass ${\displaystyle {\tfrac {1}{|x-y|}}}$ die hier betrachtete Poisson-Gleichung im distributionellen Sinn löst.

Sei ${\displaystyle P(x,\partial _{x})}$ nun ein linearer Differentialoperator. Eine Distribution ${\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ heißt Fundamentallösung, falls ${\displaystyle H}$ die Differentialgleichung

${\displaystyle P(x,\partial _{x})u=\delta _{0}}$

im Distributionensinne löst.

Die Menge aller Fundamentallösungen von ${\displaystyle P(x,\partial _{x})}$ ergibt sich durch Addition einer speziellen Fundamentallösung ${\displaystyle H}$ mit der allgemeinen homogenen Lösung ${\displaystyle H_{0}}$. Die allgemeine homogene Lösung ist die Menge der Distributionen, für die ${\displaystyle P(x,\partial _{x})u=0}$ gilt. Nach einem Satz von Bernard Malgrange besitzt jeder lineare Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung ${\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$.

Mit Hilfe dieser Fundamentallösungen erhält man durch Faltung Lösungen entsprechender inhomogener Differentialgleichungen. Sei ${\displaystyle f}$ eine glatte Funktion (oder allgemeiner eine Distribution mit kompaktem Träger), dann ergibt sich wegen

${\displaystyle P(x,\partial _{x})(H*f)=P(x,\partial _{x})H*f=\delta _{0}*f=f}$

eine Lösung von ${\displaystyle P(x,\partial _{x})u=f}$ in der Form

${\displaystyle u=H*f,}$

wobei ${\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ genauso wie oben eine Fundamentallösung des Differentialoperators ist.

Analog zu den harmonischen Funktionen definiert man auch harmonische Distributionen. So heißt eine Distribution ${\displaystyle T}$ harmonisch, wenn sie der Laplace-Gleichung

${\displaystyle \Delta T=0}$

im distributionellen Sinne genügt. Da die distributionelle Ableitung allgemeiner ist als das gewöhnliche Differential, könnte man auch mehr Lösungen der Laplace-Gleichung erwarten. Das ist jedoch falsch. Denn man kann beweisen, dass es für jede harmonische Distribution ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ eine glatte Funktion gibt, die diese Distribution erzeugt. Es gibt also keine singulären Distributionen, die die Gleichung erfüllen, insbesondere ist der singuläre Träger einer harmonischen Distribution leer. Diese Aussage gilt sogar allgemeiner für elliptische partielle Differentialgleichungen. Für Physiker und Ingenieure bedeutet dies, dass sie in der Elektrodynamik, zum Beispiel in der Theorie der maxwellschen Gleichungen, unbedenklich mit Distributionen arbeiten können, auch wenn sie nur an gewöhnlichen Funktionen interessiert sind.

Man kann Distributionen mit Hilfe von Diffeomorphismen auf reellen Teilmengen hin- und zurücktransportieren. Seien ${\displaystyle \Omega _{1},\,\Omega _{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ zwei reelle Teilmengen und ${\displaystyle \psi \colon \Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ ein Diffeomorphismus, also eine stetig differenzierbare, bijektive Funktion, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist. Für ${\displaystyle u\in C(\Omega _{2})}$ gilt ${\displaystyle u\circ \psi \in C(\Omega _{1})}$ und für alle Testfunktionen ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}$ gilt aufgrund des Transformationssatzes die Gleichung

${\displaystyle \int _{\Omega _{1}}u(\psi (x_{1}))\phi (x_{1})\mathrm {d} x_{1}=\int _{\Omega _{2}}u(x_{2})\phi (\psi ^{-1}(x_{2}))\left|\det \left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\psi ^{-1}(x_{2})\right)\right|\mathrm {d} x_{2}.}$