Platonischer Körper

Die Bedingung, dass an einer Körperecke nur gleiche Polygone zusammenstoßen, wird nur von fünf Formen von Ecken erfüllt. Der Beweis dafür findet sich schon bei Euklid.[9] Er beruht auf folgenden Überlegungen:

• Für eine beliebige Körperecke ist die Summe der Innenwinkel aller angrenzenden Flächen kleiner als 360°. Wäre sie genau 360°, würden die Flächen in einer Ebene liegen. Auch bei mehr als 360° wäre keine Ecke möglich.
• Andererseits müssen sich an jeder Körperecke mindestens drei Flächen treffen.

Sind bei einem Körper alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke (Innenwinkel 60°), so können an einer Ecke drei, vier oder fünf gleichseitige Dreiecke (Winkelsumme 180°, 240°, 300°) zusammentreffen.

Sind die Seitenflächen Quadrate (Innenwinkel 90°) oder regelmäßige Fünfecke (Innenwinkel 108°), so können davon jeweils drei zusammentreffen (Winkelsumme 270° bei Quadraten bzw. 324° bei Fünfecken).

Die Summe der Innenwinkel von 6 gleichseitigen Dreiecken, 4 Quadraten, 4 regelmäßigen Fünfecken oder 3 regelmäßigen Sechsecken sind bereits 360° oder größer. Die 360°-Summe der Innenwinkel von sechs gleichseitigen Dreiecken, vier Quadraten und drei regelmäßigen Sechsecken bedeutet, dass keine Ecke im Raum entsteht, sondern eine reguläre Parkettierung der Ebene stattfindet (siehe Abschnitt Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre). Bei einer Innenwinkelsumme von größer als 360° können sich entsprechende Polygone überhaupt nicht in nur einer gemeinsamen Ecke treffen.

Zu jedem konvexen Polyeder lässt sich ein Dualkörper konstruieren. Bei platonischen Körpern erhält man diesen, indem man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen miteinander verbindet. Duale Körper im engeren Sinne haben dieselbe Kantenkugel. Einander entsprechende Kanten der dualen Körper schneiden sich in einem rechten Winkel in dem Punkt, in dem sie die Kantenkugel berühren.

Somit hat das duale Polyeder genauso viele Ecken, wie das Ausgangspolyeder Flächen hat. Der Dualkörper hat zudem genauso viele Flächen, wie der Ausgangskörper Ecken hat. Letzteres kann man sich räumlich so vorstellen, dass jede vergrößerte Fläche des Dualkörpers eine Ecke des Ausgangskörpers abschneidet. Drittens gilt, dass das Dualpolyeder und sein Ausgangspolyeder die gleiche Anzahl an Kanten haben. Dies lässt sich ebenfalls aus obiger Konstruktion ablesen: Zwei benachbarte Seitenflächen bilden gemeinsam eine Kante des Ausgangspolyeders, und die „Verbindung der zwei Mittelpunkte“ dieser benachbarten Seitenflächen stellt eine Kante des Dualkörpers dar. Man spricht deshalb auch von dimensionsumkehrender Dualität. Und die Inversion des Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polyeder.

Bei den platonischen Körpern, als Untergruppe der konvexen Polyeder, gibt es bezüglich deren Dualkörper noch folgende Besonderheiten: Erstens haben hier Ausgangs- und Dualkörper denselben geometrischen Schwerpunkt. Zweitens ist der Dualkörper eines platonischen Körpers auch selbst ein platonischer Körper. Dabei bilden Hexaeder (Würfel) und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder jeweils ein duales Paar. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, wobei sich jedoch das duale Tetraeder in verkleinerter zentralsymmetrischer Lage befindet, d. h., es „steht auf dem Kopf“. Drittens: Wiederholt man obige Konstruktion und konstruiert den dualen Körper zum Dualkörper, so erhält man einen verkleinerten Ausgangskörper – also einen platonischen Körper, der durch Zentrische Streckung in den Ausgangskörper überführt werden kann. Beide haben somit denselben Schwerpunkt.

• 
  Zwei ineinander gesteckte zueinander duale Tetraeder, die ein Sterntetraeder bilden
• 
  Ineinander gestecktes Hexaeder (Würfel) und Oktaeder, die dual zueinander sind
• 
  Ineinander gestecktes Dodekaeder und Ikosaeder, die dual zueinander sind

Die platonischen Körper zeigen größtmögliche Symmetrie:

• Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig, d. h., jede Ecke (Kante, Fläche) kann durch eine Kongruenzabbildung des Körpers auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden.

Man sagt dazu:

• Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Ecken (wie auch auf den Kanten und Flächen).

Es gilt sogar:

• Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Fahnen. (Eine Fahne ist eine Ecke auf einer Kante auf einer Fläche.)

Die fünf platonischen Körper sind daher reguläre Polyeder. Die bei ihnen auftretenden Symmetriegruppen und ihre Untergruppen gehören zu den diskreten Punktgruppen. Duale platonische Körper haben dieselbe Symmetriegruppe. Das ist die Basis für die Konstruktion zahlreicher anderer Körper, z. B. der archimedischen Körper. Es gibt also nicht fünf, sondern nur drei dieser Gruppen: die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe. Sie spielen in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik eine Rolle.

Aufgrund ihrer Symmetrie haben homogen gefertigte Modelle platonischer Körper die Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können. Die meisten Spielwürfel sind übrigens aufgrund der Vertiefungen für die Augenzahlen nicht absolut perfekt symmetrisch.

Da Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder auch zu den konvexen Deltaedern gehören, gehört aus jeder Symmetriegruppe ein Körper zu den Deltaedern.

Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat

• eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und
• eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie
• eine Kantenkugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen.

Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt des platonischen Körpers.

Projiziert man die Kanten eines platonischen Körpers aus dem Mittelpunkt auf eine Kugel mit demselben Mittelpunkt, z. B. auf die Umkugel, so erhält man eine Parkettierung der Kugeloberfläche durch zueinander kongruente regelmäßige sphärische Vielecke, wobei in jeder Ecke gleich viele Kanten unter gleichen Winkeln zusammentreffen. Diese Parkettierungen haben dieselben Symmetrien wie der Ausgangskörper. Insbesondere sind sie ebenfalls fahnentransitiv. Es sind die fünf regulären Parkettierungen der Sphäre, zwischen denen dieselben Dualitätsbeziehungen bestehen wie zwischen den Körpern. In anderem Zusammenhang spricht man auch von Landkarten und dualen Landkarten.

Jede reguläre Parkettierung kann durch ein Paar ${\displaystyle \{p,q\}}$, das sogenannte Schläfli-Symbol, beschrieben werden, wobei ${\displaystyle p}$ für die Anzahl der Kanten eines Feldes und ${\displaystyle q}$ für die Anzahl der in einer Ecke endenden Kanten steht. Die platonischen Körper sind die dualen Paare ${\displaystyle \{4,3\}}$ (Hexaeder) und ${\displaystyle \{3,4\}}$ (Oktaeder), ${\displaystyle \{5,3\}}$ (Dodekaeder) und ${\displaystyle \{3,5\}}$ (Ikosaeder) sowie das selbstduale ${\displaystyle \{3,3\}}$ (Tetraeder).

Geometrisch bedeutet das für die platonischen Körper, dass

• ${\displaystyle p}$ die Anzahl der Ecken der Seitenflächen ist. Die Seitenflächen des platonischen Körpers sind also regelmäßige ${\displaystyle p}$-Ecke.
• ${\displaystyle q}$ die Anzahl der Flächen/Kanten des platonischen Körpers sind, die an einer Ecke zusammentreffen.

Die Summe der Innenwinkel an einer Ecke des platonischen Körpers beträgt daher ${\displaystyle q\cdot {\tfrac {p-2}{p}}\cdot 180^{\circ }}$ (siehe Regelmäßiges Polygon - Winkel). Daraus ergibt sich die Ungleichung

${\displaystyle {\begin{aligned}q\cdot {\tfrac {p-2}{p}}\cdot 180^{\circ }&<360^{\circ }\Rightarrow \\{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}&>{\frac {1}{2}}\left(p,q\in \mathbb {N} \right)\end{aligned}}}$

mit den oben genannten Lösungen. Diese Beziehung folgt auch aus dem eulerschen Polyedersatz, der die Anzahl ${\displaystyle E}$ der Ecken, ${\displaystyle K}$ der Kanten und ${\displaystyle F}$ der Flächen zueinander in Bezug stellt:

${\displaystyle E-K+F=2}$,

wobei die Konstante 2 für die Sphäre charakteristisch ist.[10]

In der euklidischen Geometrie gilt für unendlich große planare Graphen bei geeigneter, nämlich asymptotischer Interpretation der Gleichung

${\displaystyle E-K+F=0}$

oder

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}\left(p,q\in \mathbb {N} \right)}$

mit den Lösungen

${\displaystyle \{4,4\}}$ (selbstdual) sowie ${\displaystyle \{3,6\}}$ und dual dazu ${\displaystyle \{6,3\}}$, die für die drei platonischen Parkettierungen der Ebene (durch Quadrate, gleichseitige Dreiecke und regelmäßige Sechsecke) stehen, die Verallgemeinerungen der platonischen Körper darstellen.

Die Lösungen von

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}\ (p,q\in \mathbb {N} )}$

liefern die regulären Parkettierungen der hyperbolischen Geometrie.

Für die platonischen Körper gilt nicht nur ${\displaystyle E-K+F=2}$, sondern auch ${\displaystyle q\cdot E=2\cdot K=p\cdot F}$. Dieses ausschließlich ganzzahlige Gleichungssystem aus drei Gleichungen lässt sich auflösen und ergibt für die Anzahl ${\displaystyle E}$ der Ecken, ${\displaystyle K}$ der Kanten und ${\displaystyle F}$ der Flächen:

${\displaystyle E={\frac {4\cdot p}{4-(p-2)\cdot (q-2)}}}$

${\displaystyle K={\frac {2\cdot p\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}}}$

${\displaystyle F={\frac {4\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}}}$

Es lässt sich also für jeden platonischen Körper nur durch die Vorgabe von ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ (siehe oben) die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen berechnen, ohne die genauen geometrischen Eigenschaften zu kennen.

Für den Flächeninhalt der Oberfläche des platonischen Körpers gilt mit der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ und dem Schläfli-Symbol ${\displaystyle \{p,q\}}$

${\displaystyle A_{O}={\frac {p\cdot q\cdot a^{2}}{4-(p-2)\cdot (q-2)}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$

denn die Oberfläche besteht aus ${\displaystyle F={\tfrac {4\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}}}$ kongruenten regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Ecken (siehe Regelmäßiges Polygon - Umfang und Flächeninhalt)

Für den Winkel ${\displaystyle \beta }$ zwischen benachbarten Flächen (Diederwinkel) gilt

${\displaystyle \beta =2\cdot \arcsin \left({\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\right)\Leftrightarrow \sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}}$

wegen ${\displaystyle 0<\beta <\pi }$, denn die platonischen Körper sind konvex.

Dafür reicht es, eine Diagonale ${\displaystyle d_{2}}$ (siehe Regelmäßiges Polygon - Diagonalen) des regelmäßigen ${\displaystyle q}$-Ecks zu betrachten, das von den Ecken der Kanten, die an einer bestimmten Ecke zusammentreffen, wie ein Regenschirm aufgespannt wird, und die beiden gleich langen Höhen der Endpunkte (Ecken) dieser Diagonalen auf die Kante, die die betrachtete Ecke mit der von der Diagonalen ${\displaystyle d_{2}}$ übersprungenen Ecke verbindet. Auf dieses gleichschenklige Dreieck kann der Sinus angewendet werden.

Die Seiten dieses regelmäßigen ${\displaystyle q}$-Ecks ("Regenschirm") sind die Diagonalen ${\displaystyle d_{2}}$ der Seitenflächen des platonischen Körpers, also der regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Ecke der Seitenlänge a, die an der betrachteten Ecke zusammentreffen. Sie haben die Länge

${\displaystyle {\frac {a\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{q}}\right)}}=2\cdot a\cdot \cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$

Aus diesem Winkel ${\displaystyle \beta }$ zwischen benachbarten Flächen lassen sich der Umkugelradius ${\displaystyle r_{u}}$, Kantenkugelradius ${\displaystyle r_{k}}$ und der Inkugelradius ${\displaystyle r_{i}}$ des platonischen Körpers bestimmen, indem zusätzlich der Umkreisradius und der Inkreisradius der betroffenen Seitenfläche, einem regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Eck, betrachtet wird (siehe Regelmäßiges Polygon - Kreis als Grenzform):

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)}$

${\displaystyle r_{k}={\frac {a}{2}}\cdot {\frac {\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}}\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)}$

${\displaystyle r_{i}={\frac {a}{2}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)}$

Skizze zu den Kantenlängen der platonischen Körper, umschrieben von einer gegebenen Kugel

Die Kantenlänge ${\displaystyle a}$ erhält man u. a. aus der allgemeinen Formel für den Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$. Darin ist ${\displaystyle q}$ die Anzahl der Flächen/Kanten des platonischen Körpers, die an einer Ecke zusammentreffen bzw. ${\displaystyle \beta }$ der Winkel zwischen benachbarten Flächen (siehe Formeln).

${\displaystyle a={\frac {2\cdot r_{u}}{\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)}}}$

Euklid erklärt und beweist die Kantenlängen der fünf platonischen Körper, indem er sie mittels einer Kugel mit gegebenem Durchmesser umschreibt.[11] Die nebenstehende Konstruktionskizze zeigt die so ermittelten Kantenlängen. Werden die Werte der Kantenlängen ${\displaystyle a}$ nach obiger Formel ermittelt, können sie jeweils in einen arithmetischer Ausdruck umgeformt werden. Der Faktor ${\displaystyle r_{u}}$ steht dabei für den Umkugelradius ${\displaystyle r_{u}}$.

• Tetraeder: ${\displaystyle a=|{\overline {AF}}|={\sqrt {\frac {8}{3}}}\cdot r_{u}\approx 1{,}633\cdot r_{u}}$
• Hexaeder(Würfel): ${\displaystyle a=|{\overline {BF}}|={\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot r_{u}\approx 1{,}155\cdot r_{u}}$
• Oktaeder: ${\displaystyle a=|{\overline {AE}}|={\sqrt {2}}\cdot r_{u}\approx 1{,}414\cdot r_{u}}$
• Dodekaeder: ${\displaystyle a=|{\overline {BN}}|={\sqrt {\frac {6-2{\sqrt {5}}}{3}}}\cdot r_{u}\approx 0{,}714\cdot r_{u}}$
• Ikosaeder: ${\displaystyle a=|{\overline {AH}}|={\sqrt {\frac {10-2{\sqrt {5}}}{5}}}\cdot r_{u}\approx 1{,}051\cdot r_{u}}$[12]

Die hierzu erforderlichen Konstruktionsschritte, sind in den Artikeln der platonischen Körper erläutert.

Im Jahre 2015 veröffentlichte H. C. Rajpoot[13] eine einfache Formel für den Ecken-Raumwinkel

${\displaystyle \Omega =2\pi -2q\cdot \arcsin \left(\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot {\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\right),}$[14]

die in allen fünf platonischen Körpern Anwendung findet. Hierin bedeuten die zwei Variablen

• ${\displaystyle q}$ die Anzahl der Kanten/Flächen die sich an einer Ecke des platonischen Körpers treffen, also für

	Tetraeder, Würfel und Dodekaeder	${\displaystyle q=3}$,
	Oktaeder	${\displaystyle q=4}$ und für
	Ikosaeder	${\displaystyle q=5}$ ;

• und ${\displaystyle \alpha }$ den Innenwinkel einer Fläche des platonischen Körpers, also für

	Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder	${\displaystyle \alpha =60^{\circ }=\pi /3}$ ,
	Würfel	${\displaystyle \alpha =90^{\circ }=\pi /2}$ und für
	Dodekaeder	${\displaystyle \alpha =108^{\circ }=3\pi /5}$ .

Aus der Oberfläche und dem Inkugelradius ergibt sich schließlich das Volumen, denn jeder platonische Körper lässt sich in ${\displaystyle F={\tfrac {4\cdot q}{4-(p-2)\cdot (q-2)}}}$ regelmäßige Pyramiden zerlegen, die eine Seitenfläche, also regelmäßiges ${\displaystyle p}$-Eck, als Grundfläche und den Inkugelradius als Höhe haben:

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {1}{3}}\cdot A\cdot r_{i}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {p\cdot q\cdot a^{2}}{4-(p-2)\cdot (q-2)}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot {\frac {a}{2}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\&={\frac {p\cdot q\cdot a^{3}}{24-6\cdot (p-2)\cdot (q-2)}}\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Größen eines platonischen Körpers mit p Ecken/Kanten pro Fläche, q Flächen/Kanten in einer Ecke und Kantenlänge a
	Allgemeiner Fall	Beispiel Dodekaeder
Schläfli-Symbol	${\displaystyle \{p,q\}}$	${\displaystyle \{5,3\}}$
Volumen	${\displaystyle V={\frac {p\cdot q\cdot a^{3}}{24-6\cdot (p-2)\cdot (q-2)}}\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)}$	${\displaystyle V\approx 7{,}663\cdot a^{3}}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}={\frac {p\cdot q\cdot a^{2}}{4-(p-2)\cdot (q-2)}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$	${\displaystyle A_{O}\approx 20{,}646\cdot a^{2}}$
Umkugelradius	${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\approx 1{,}401\cdot a}$[15]
Kantenkugelradius	${\displaystyle r_{k}={\frac {a}{2}}\cdot {\frac {\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}}\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)}$	${\displaystyle r_{k}\approx 1{,}309\cdot a}$[16]
Inkugelradius	${\displaystyle r_{i}={\frac {a}{2}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}\approx 1{,}114\cdot a}$[17]
Verhältnis von Inkugelradius zu Umkugelradius	${\displaystyle {\frac {r_{i}}{r_{u}}}=\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \cot \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {r_{i}}{r_{u}}}\approx 0{,}795}$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	${\displaystyle {\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {p\cdot q\cdot a^{3}}{4-(p-2)\cdot (q-2)}}\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \cot ^{3}\left({\frac {\pi }{q}}\right)\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {V}{V_{UK}}}\approx 0{,}665}$
Verhältnis von Inkugelvolumen zu Volumen	${\displaystyle {\frac {V_{IK}}{V}}=\pi \cdot {\frac {4-(p-2)\cdot (q-2)}{p\cdot q\cdot a^{3}}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {V_{IK}}{V}}\approx 0{,}755}$
Innenwinkel der Seitenfläche (regelmäßiges ${\displaystyle p}$-Eck)	${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{q}}\right)\cdot 180^{\circ }}$	${\displaystyle \alpha =108^{\circ }}$
Winkel zwischen benachbarten Flächen	${\displaystyle \beta =2\cdot \arcsin \left({\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\right)}$	${\displaystyle \beta \approx 116^{\circ }\;33^{\prime }\;54^{\prime \prime }}$
Raumwinkel in den Ecken	${\displaystyle \Omega =2\cdot \pi -2\cdot p\cdot \arcsin \left(\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot {\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)-\tan ^{2}\left(\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{q}}\right)\cdot \pi \right)}}\right)}$	${\displaystyle \Omega \approx 2{,}962\;\mathrm {sr} }$

Bemerkung: Für den Winkel ${\displaystyle \beta }$ zwischen benachbarten Flächen (Diederwinkel) gilt (siehe Arkustangens und Arkuskotangens):

${\displaystyle \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)=\tan \left(\arcsin \left({\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\right)\right)=\left({\frac {\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}{\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}}-1\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ wegen ${\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ und

${\displaystyle \cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)=\cot \left(\arcsin \left({\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\right)\right)=\left({\frac {\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}{\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}}-1\right)^{\frac {1}{2}}}$ wegen ${\displaystyle \cot(\arcsin(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$.

Platonische Körper haben wie alle Polyeder verschiedene Netze (siehe Übersicht oben). Es gibt nämlich verschiedene Möglichkeiten, ein hohles Polyeder durch Aufschneiden von einigen Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Ist ${\displaystyle K}$ die Anzahl der Kanten und ${\displaystyle F}$ die Anzahl der Flächen des Polyeders, dann entsteht durch Aufschneiden von ${\displaystyle K-F+1}$ Kanten ein Körpernetz. Die Ecken liegen dabei offensichtlich auf dem Rand des Netzes. Die anderen ${\displaystyle F-1}$ Kanten verbinden jeweils die regelmäßigen Polygone des Netzes.

Jeder platonische Körper hat wie jedes konvexe Polyeder einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen. Dieser Graph ist regulär, denn von jedem Knoten gehen ${\displaystyle {\tfrac {2\cdot K}{E}}}$ Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich ${\displaystyle {\tfrac {2\cdot K}{E}}}$ ist, wobei ${\displaystyle E}$ die Anzahl der Knoten ist. Der Knotengrad ist gleich der Anzahl der Flächen (und Kanten), die in jeder Ecke des platonischen Körpers zusammentrifft. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Graphen entsprechen den Ecken des Polyeders.

Die ${\displaystyle K-F+1}$ aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Graphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Körpernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit ${\displaystyle F}$ Knoten und ${\displaystyle F-1}$ Kanten und dem maximalen Knotengrad ${\displaystyle {\tfrac {2\cdot K}{F}}}$. Jede Fläche des platonische Körpers wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet.

Diese Betrachtungen hängen mit dem Eulerschen Polyedersatz zusammen.

Kantenfärbung des Dodekaedergraphen

Flächenfärbung des Dodekaedergraphen mit dualer Knotenfärbung des Ikosaedergraphen

Die Anzahl der Farben, die mindestens nötig ist, um die Knoten eines Graphen so zu färben, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, wird chromatische Zahl genannt (siehe Knotenfärbung). Die entsprechende Zahl für die Kanten nennt man chromatischer Index (siehe Kantenfärbung). Bei den Graphen der platonischen Körpern ist sie gleich dem (maximalen) Knotengrad. Im Zusammenhang mit dem Satz von Vizing werden sie Klasse-1-Graphen genannt.

Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 4 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist.

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph hilfreich. Dieser graphentheoretische Begriff der Dualität ist gewissermaßen eine Analogie oder Verallgemeinerung der geometrischen Dualität von Polyedern (siehe Abschnitt oben).

Die Knoten dieses dualen Graphen werden dabei den Gebieten des ursprünglichen Graphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion). Für den Dodekaedergraphen (siehe Abbildungen) gilt zum Beispiel: Die Knoten des dualen Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 3 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 4 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 4 ist, sind 4 Farben für eine solche Flächenfärbung des Dodekaeders oder eine Färbung der Gebiete des Dodekaedergraphen nötig.[18]

Würfelgraph mit Hamiltonkreis

Alle Graphen der platonische Körper besitzen mehrere Hamiltonkreise. Das ist ein geschlossener Pfad in einem Graphen, der jeden Knoten genau einmal enthält. Beim Würfel und beim Dodekaeder ist das alles andere als offensichtlich. Für das Tetraeder, das dem vollständigen Graphen ${\displaystyle K_{4}}$ zugeordnet ist, ist es klar. Für das Oktaeder folgt die Existenz von Hamiltonkreisen aus einem Satz von Gabriel Andrew Dirac, für das Ikosaeder aus einem Satz von William Thomas Tutte (siehe Sätze über Hamiltonkreise).

Für die Anzahl der Hamiltonkreise gibt es jedoch keine mathematische Formel und keinen wirklich einfachen Algorithmus. Untersuchungen mit dem Computer zeigen zum Beispiel, dass das Ikosaeder 2560 Hamiltonkreise besitzt.

Die Graphen von Tetraeder, Würfel, Dodekaeder und Ikosaeder besitzen keine Eulerkreise, weil der Grad aller Knoten ungerade ist. Das liegt daran, dass in jeder Ecke dieser Polyeder eine ungerade Anzahl von Kanten zusammentrifft. Das Oktaeder besitzt 1844 Eulerkreise, wie Untersuchungen mit dem Computer zeigen.

Wenn man von einem platonischen Körper ausgehend ein abgestumpftes Polyeder erzeugt, indem man seine Ecken so abschneidet, dass danach alle Kanten gleich lang sind, so erhält man einen archimedischen Körper. Dieser Körper entsteht auch als Schnitt des platonischen Körpers mit seinem passend vergrößerten dualen Körper.

• 
  Tetraederstumpf
• 
  Hexaederstumpf
• 
  Oktaederstumpf
• 
  Dodekaederstumpf
• 
  Ikosaederstumpf (Fußballkörper)

Archimedische Körper sind Beispiele für ziemlich regelmäßige Körper, bei denen Polygone verwendet werden, die zwar regelmäßig, aber von unterschiedlicher Seitenzahl sind.

Baut man Pyramiden auf den Seitenflächen auf, anstatt abzuschneiden, erhält man Sternkörper, wie das Sterntetraeder.

Verwendet man für die Pyramiden gleichseitige Dreiecke, hat man Beispiele für Polyeder, die vollständig aus gleichen Polygonen bestehen, bei denen aber unterschiedlich viele in den Ecken zusammenstoßen.