Dreisatz

• Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je mehr A, desto mehr B.“ vor (direkte Proportionalität): Beim Verdoppeln (Verdreifachen, …) von A wird auch B verdoppelt (verdreifacht, …).
• Gegeben ist ein Verhältnis von ${\displaystyle a}$ Einheiten einer Größe A zu ${\displaystyle b}$ Einheiten einer Größe B.
• Gefragt wird nach der Anzahl ${\displaystyle x}$ Einheiten der Größe B, die in demselben Verhältnis zu ${\displaystyle c}$ Einheiten von A stehen.

In einer Tabelle sind die „gleichartigen“ Werte untereinander zu schreiben:

Größe A	Größe B
${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle x}$

Inhaltliches Lösen

Die Dreisatzaufgabe lässt sich sehr einfach in drei Denkschritten lösen:

1. ${\displaystyle a}$ Einheiten von A entsprechen ${\displaystyle b}$ Einheiten von B.
2. Einer Einheit von A entsprechen ${\displaystyle b:a}$ Einheiten von B.
3. ${\displaystyle c}$ Einheiten von A entsprechen also ${\displaystyle x=c\cdot (b:a)}$ Einheiten von B.

In der Tabelle wird eine zusätzliche Zeile eingefügt. In beiden Tabellenspalten wird mit demselben Wert dividiert bzw. multipliziert.

Größe A	Größe B	Rechenschritt
${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle :a}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle b:a}$	${\displaystyle \cdot c}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle c\cdot (b:a)}$

Beim Rechnen entstehende Brüche werden in jedem Schritt gekürzt (siehe Beispiel 1).

• Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je weniger A, umso mehr B.“ vor (indirekte Proportionalität, Beispiel 2b): Beim Halbieren (Dritteln, …) von A wird B verdoppelt (verdreifacht, …).
• Dabei ergeben ${\displaystyle a}$ Einheiten einer Größe A mit ${\displaystyle b}$ Einheiten einer Größe B ein konstantes Produkt.
• Gefragt wird nach der Anzahl ${\displaystyle x}$ Einheiten der Größe B, die mit ${\displaystyle c}$ Einheiten von A dasselbe Produkt ergeben: ${\displaystyle a\cdot b=c\cdot x}$.

In beiden Spalten der Tabelle werden entgegengesetzte Rechenoperationen ausgeführt:

Rechne:	Größe A	Größe B	Rechne:
durch ${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	mal ${\displaystyle a}$
mal ${\displaystyle c}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle a\cdot b}$	durch ${\displaystyle c}$
	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a\cdot b/c}$

Beim verallgemeinerten Dreisatz gehen Produkte mehrerer Größen in das Verhältnis ein (vgl. Beispiel 3).

Ausgehend von ${\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}\ \mathrel {\widehat {=}} \ d_{1}}$ kann man auf zwei Wegen die Lösung des Problems ${\displaystyle a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2}\ \mathrel {\widehat {=}} \ x}$ bestimmen. Der einfache Dreisatz ist mehrfach anzuwenden (man geht zuerst von ${\displaystyle a_{1}}$ zu ${\displaystyle a_{2}}$ über, dann von ${\displaystyle b_{1}}$ zu ${\displaystyle b_{2}}$ und schließlich von ${\displaystyle c_{1}}$ zu ${\displaystyle c_{2}}$). Alternativ können alle Schritte auch gleichzeitig ausgeführt werden:

1. ${\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}\ \mathrel {\widehat {=}} \ d_{1}}$
2. ${\displaystyle 1\ \mathrel {\widehat {=}} \ {\frac {d_{1}}{a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}}}}$
3. ${\displaystyle x\ \mathrel {\widehat {=}} \ {\frac {d_{1}\cdot a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2}}{a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}}}}$

Wiktionary: Dreisatz – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: ${\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}$ Mathematik für die Schule – Direkte Proportionalität

Wikibooks: ${\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}$ Mathematik für die Schule – Indirekte Proportionalität

Wikibooks: ${\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}$ Mathematik für die Schule – Vergleich direkter und indirekter Proportionalität

• Pädagogisches Institut der deutschen Sprachgruppe Bozen
• Dreisatz. In: Serlo.

1. Regeldetri. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 16: Plaketten–Rinteln. Bibliographisches Institut, Leipzig / Wien 1908, S. 698 (Digitalisat. zeno.org).
2. Regel Detri. In: Brockhaus (Hrsg.): Conversations-Lexikon oder kurzgefaßtes Handwörterbuch. 1. Auflage. Band 4: R. Kunst- und Industrie-Comptoir, Amsterdam 1809, S. 115–118 (Digitalisat. zeno.org).
3. Regula de Tri. In: Herders Conversations-Lexikon. 1. Auflage. Band 4. Herder, Freiburg im Breisgau 1856, S. 689 (Digitalisat. zeno.org).
4. Goldene Regel. In: Heinrich August Pierer, Julius Löbe (Hrsg.): Universal-Lexikon der Gegenwart und Vergangenheit. 4. Auflage. Band 7: Gascognisches Meer–Hannok. Altenburg 1859, S. 450 (Digitalisat. zeno.org).
5. Euklid: Die Elemente. II. Teil. Buch V und VI. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Clemens Thaer (Hrsg.). Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1933.
6. Adam Ries(e): Rechnung auf Linien und Federn … anno 1532. 114. Auflage. Magistrat der Stadt Erfurt, 1991, Pag. Biii.