Reduzierter Ring

Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring, so ist ${\displaystyle R}$ ein reduzierter Ring, falls für alle ${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle r^{n}=0\Leftrightarrow r=0}$

Das ist äquivalent zu:

• Das Nilradikal des Ringes ist das Nullideal:

${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$

• Für alle ${\displaystyle r\in R}$ gilt:

${\displaystyle r^{2}=0\Leftrightarrow r=0}$

Ein Ideal ${\displaystyle I}$ eines Ringes ${\displaystyle R}$ ist ein reduziertes Ideal, wenn gilt:

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I}$

Ein Schema ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ist reduziert, wenn für jede offene Menge ${\displaystyle U\subset X}$ der Ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ keine nilpotenten Elemente enthält. Das ist äquivalent dazu, dass für alle ${\displaystyle x\in X}$ die lokalen Ringe (Halme):

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{x}=\operatorname {lim} _{V\ni x}{\mathcal {F}}(V)}$

reduziert sind.