Rechter Winkel

Zwei Strecken ${\displaystyle [AC]}$ und ${\displaystyle [BC]}$ bilden nach dem Satz des Pythagoras genau dann einen rechten Winkel, wenn für die Längen der Strecken

${\displaystyle |AC|^{2}+|BC|^{2}=|AB|^{2}}$

gilt. Die ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung heißen pythagoreische Tripel. So bilden zwei Strecken, die sich in einem Punkt treffen und deren Längen ${\displaystyle 3}$ bzw. ${\displaystyle 4}$ Einheiten betragen, genau dann miteinander einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsstrecke der beiden Endpunkte ${\displaystyle 5}$ Einheiten lang ist, denn

${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}}$. Die Harpedonapten (Seilspanner) im alten Ägypten verwendeten dies zur Konstruktion des rechten Winkels.[3]

Die Graphen zweier linearer Funktionen ${\displaystyle f(x)=m_{1}x+b_{1}}$ und ${\displaystyle g(x)=m_{2}x+b_{2}}$ schneiden sich genau dann in einem rechten Winkel, wenn für das Produkt der Steigungen

${\displaystyle m_{1}\cdot m_{2}=-1}$

gilt. Beispielsweise schneiden sich die Graphen der beiden linearen Funktionen ${\displaystyle f(x)=-2x+5}$ und ${\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{2}}x+2}$ rechtwinklig, denn

${\displaystyle m_{1}\cdot m_{2}=(-2)\cdot {\tfrac {1}{2}}=-1}$.

Allgemeiner schneiden sich die Graphen zweier differenzierbarer Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ genau dann in einem rechten Winkel, wenn am Schnittpunkt ${\displaystyle {\bar {x}}}$ das Produkt der Ableitungen (der Tangentensteigungen)

${\displaystyle f'({\bar {x}})\cdot g'({\bar {x}})=-1}$

ergibt. So schneiden sich beispielsweise die Graphen der Funktionen ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{2}}(x^{2}+1)}$ und ${\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{x}}}$ an der Stelle ${\displaystyle {\bar {x}}=1}$ rechtwinklig, denn ${\displaystyle f({\bar {x}})=g({\bar {x}})}$ und

${\displaystyle f'({\bar {x}})\cdot g'({\bar {x}})={\bar {x}}\cdot (-{\tfrac {1}{{\bar {x}}^{2}}})=1\cdot (-1)=-1}$.

Zwei sich schneidende Geraden bilden in einem kartesischen Koordinatensystem genau dann einen rechten Winkel, wenn für das Skalarprodukt der Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {r}}}$ und ${\displaystyle {\vec {s}}}$ der beiden Geraden

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {s}}=0}$

gilt. So stehen beispielsweise zwei Geraden mit den Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {r}}=(2,1)}$ und ${\displaystyle {\vec {s}}=(1,-2)}$ aufeinander senkrecht, da

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {s}}=2\cdot 1+1\cdot (-2)=0}$

ist. Allgemeiner bilden zwei sich schneidende differenzierbare Kurven miteinander einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt ihrer Tangentialvektoren am Schnittpunkt verschwindet.