Rayleigh-Quotient

Sei ${\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}$ eine reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Matrix und ${\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{n}}$ mit ${\displaystyle x\neq 0}$ ein Vektor, dann ist der Rayleigh-Quotient von ${\displaystyle A}$ zum Vektor ${\displaystyle x}$ definiert durch[1]

${\displaystyle R_{A}(x)={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}x}}\,.}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle x^{*}={\overline {x}}^{T}}$ den adjungierten Vektor von ${\displaystyle x}$. Der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten ist genau der numerische Wertebereich von ${\displaystyle A}$.

Bei einer Multiplikation des Vektors ${\displaystyle x}$ mit einem Skalar ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ändert sich der Rayleigh-Quotient nicht: ${\displaystyle R_{A}(\alpha x)=R_{A}(x)}$, er ist also eine homogene Funktion vom Grad 0.

Der Rayleigh-Quotient hat eine enge Beziehung zu den Eigenwerten von ${\displaystyle A}$. Ist ${\displaystyle v}$ ein Eigenvektor der Matrix ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle \lambda }$ der zugehörige Eigenwert, dann gilt:

${\displaystyle R_{A}(v)={\frac {v^{*}Av}{v^{*}v}}={\frac {v^{*}\lambda v}{v^{*}v}}=\lambda \,.}$

Durch den Rayleigh-Quotienten wird also jeder Eigenvektor von ${\displaystyle A}$ auf den dazugehörigen Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt. Insbesondere gilt für eine symmetrische oder hermitesche Matrix ${\displaystyle A}$ mit dem kleinsten Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{\rm {min}}}$ und dem größten Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{\rm {max}}}$ nach dem Satz von Courant-Fischer:

${\displaystyle \lambda _{\rm {min}}\leq R_{A}(x)\leq \lambda _{\rm {max}}\,.}$

Die Berechnung des kleinsten bzw. größten Eigenwerts ist damit äquivalent zum Auffinden des Minimums bzw. Maximums des Rayleigh-Quotienten. Das lässt sich unter geeigneten Voraussetzungen auch noch auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern und ist als Rayleigh-Ritz-Prinzip bekannt.

Die Eigenvektoren hermitescher ${\displaystyle A}$ bilden die stationären Punkte des Rayleigh-Quotienten. Dies gilt nicht für asymmetrische Matrizen. Deswegen führte Ostrowski 1958/59 den sogenannten 2-seitigen Rayleigh-Quotienten

${\displaystyle R_{A}(x,y)={\frac {y^{*}Ax}{y^{*}x}}}$

ein, wobei ${\displaystyle y^{*}x\neq 0}$, der wiederum stationär an den Rechts- und Linkseigenvektoren ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ist. Da für normale Matrizen Rechts- und Linkseigenvektoren übereinstimmen, fällt der 2-seitige mit dem (einseitigen) Rayleigh-Quotienten in diesem Fall zusammen.

Bei numerischen Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen, die, wie beispielsweise die Vektoriteration oder die inverse Iteration, primär Eigenvektornäherungen berechnen, lassen sich mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten zusätzlich auch Eigenwertnäherungen bestimmen. Bei der inversen Iteration wird ein Parameter ${\displaystyle \theta }$, der Shift, benötigt. Wird ${\displaystyle \theta }$ in jedem Iterationsschritt als Rayleigh-Quotient der aktuellen Eigenvektornäherung gewählt, ergibt dies das sogenannte Rayleigh-Quotienten-Verfahren.[2]

1. Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka: Numerik-Algorithmen. 10. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13472-2, Abschnitt 7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen.
2. Lloyd N. Trefethen, David Bau: Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997, ISBN 978-0-89871-361-9, S. 207–210 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).