Rauschzahl

Weiter ist es möglich, die Rauschzahl über die im linearen Zweitor zusätzlich erzeugte Rauschleistung ${\displaystyle N_{v}}$ zu beschreiben. Die ausgangsseitige Rauschleistung ${\displaystyle N_{2}}$ setzt sich zusammen aus der um ${\displaystyle G}$ verstärkten eingangsseitig zugeführten Rauschleistung ${\displaystyle N_{1}}$ und der im Zweitor erzeugten Rauschleistung ${\displaystyle N_{v}}$:

${\displaystyle N_{2}=GN_{1}+N_{v}}$

Damit kann die Rauschzahl des linearen Zweitors dargestellt werden:

${\displaystyle F={\frac {GN_{1}+N_{v}}{GN_{1}}}=1+{\frac {N_{v}}{GN_{1}}}}$

mit der durch das Zweitor zusätzlich eingebrachten Rauschzahl ${\displaystyle F_{v}}$:

${\displaystyle \Rightarrow F_{v}:=F-1={\frac {N_{v}}{GN_{1}}}}$

Bei idealen, rauschfreien Zweitoren ist

${\displaystyle N_{v}=F_{v}=0.}$

Demzufolge beträgt die Rauschzahl für das ideale, rauschfreie lineare Zweitor (frequenzunabhängig):

${\displaystyle \Rightarrow F=1.}$

Werden mehrere Zweitore als eine Kaskade in Reihe geschaltet – dies ist beispielsweise bei einer Aneinanderreihung von Verstärkern entlang einer längeren Leitung der Fall – lässt sich die Rauschzahl F_g einer Kaskade mit n Zweitoren verallgemeinern zu:

${\displaystyle F_{g}=1+(F_{1}-1)+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}\cdot G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}\cdot G_{2}\cdot G_{3}}}+\cdots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}\cdots G_{n-1}}}=1+\sum _{k=1}^{n}{\frac {(F_{k}-1)}{\prod _{i=0}^{k-1}G_{i}}}\quad {\text{mit }}G_{0}=1}$

Diese erweiterte Form der Rauschzahl wird auch als Friis-Formel bezeichnet.

Die Rauschzahl eines Zweitors lässt sich auch mit Hilfe der Rauschtemperatur T_e ausdrücken:

${\displaystyle F=1+{\frac {T_{\mathrm {e} }}{T_{0}}}}$

Dabei ist T₀ die Bezugstemperatur, die für die Standard-Rauschzahl mit 290 K festgelegt ist.

Ein idealer, rauschfreier Verstärker weist eine Rauschtemperatur von T_e=0 K auf, was einer Rauschzahl von 1 entspricht. Ein realer Verstärker, der sich beispielsweise auf einer Rauschtemperatur von T_e=290 K befindet, weist eine Rauschzahl von 2 auf, was bedeutet, dass sich das SNR am Ausgang des Verstärkers um 3 dB verschlechtert. Insbesondere für Eingangsverstärker und zur Erzielung eines hohen SNR ist es daher nötig, die Rauschtemperatur des Verstärkers möglichst niedrig zu halten.

Nichtlineare Zweitore können die Spektren von Nutzleistung und Rauschleistung am Zweitoreingang so verändern, dass durch Filtermaßnahmen in günstigen Fällen Rauschzahlen kleiner als 1 entstehen können. Ein typisches Beispiel ist ein Demodulator für frequenzmodulierte Nutzsignale, der für Signal-Rausch-Verhältnisse am Eingang oberhalb eines Schwellenwerts ein verbessertes Signal-Rausch-Verhältnis am Demodulatorausgang produziert.

Die Rauschzahl beschreibt hier die Abnahme des Signal- zu Rauschverhältnisses eines kohärenten optischen Signals beim Durchgang durch einen optischen Verstärker. Dazu werden die Signal- zu Rauschverhältnisse des elektrischen Stroms betrachtet, den ein idealer Photodetektor mit der Quanteneffizienz 1 vor oder hinter dem optischen Verstärker liefern würde. Die in die S/N-Verhältnisse eingehenden elektrischen Leistungen sind also proportional zum Quadrat der entsprechenden optischen Leistungen.

Obwohl das Eingangssignal als ideal angenommen wird, ist seine Leistung infolge der Quantennatur der Photonen nicht völlig konstant, sondern variiert infolge des Schrotrauschens.

Zu dem bereits im Eingangssignal enthaltenen und im optischen Verstärker verstärkten Rauschen kommen weitere Rauschanteile hinzu, die im Verstärker entstehen. Meist dominiert dabei das Mischprodukt aus Signal und Superlumineszenz (ASE: Amplified spontaneous emission). Vernachlässigt man die weiteren Rauschanteile, so erhält man für den optischen Verstärker (EDFA) die Rauschzahl

${\displaystyle F={\frac {\mathrm {n} _{\mathrm {ASE} }}{G\cdot h\cdot f}}+{\frac {1}{G}}}$

mit

• ${\displaystyle \mathrm {n} _{\mathrm {ASE} }}$ Leistungsdichte des ASE-Rauschens in W/Hz, gemessen als Summe von beiden Polarisationen
• ${\displaystyle G}$ Verstärkungsfaktor
• ${\displaystyle h}$ Plancksches Wirkungsquantum
• ${\displaystyle f}$ Frequenz des optischen Eingangssignals in Hz

Für Raman-Verstärker gilt eine andere Formel, da entlang der Faser gleichzeitig Verstärkung und Dämpfung stattfindet.

Die obige traditionelle optische Rauschzahl wurde in den 1990ern definiert.[2] Sie kann auch ${\displaystyle F_{pnf}}$ genannt werden für photon number fluctuations.[3][4] Die Leistungen, die für SNR- und Rauschfaktorberechnung benötigt werden, sind die elektrischen Leistungen, welche durch den Strom in einer Photodiode verursacht werden. Das SNR ist das Quadrat des mittleren Photostroms geteilt durch die Varianz des Photostroms. Monochromatisches oder ausreichend abgeschwächtes Licht hat eine Poissonverteilung detektierter Photonen. Wenn während eines Detektionszeitraums der Erwartungswert detektierter Photonen gleich ${\displaystyle n}$ ist, so ist die Varianz ebenfalls gleich ${\displaystyle n}$ und man erhält ${\displaystyle SNR_{pnf,ein}}$ = ${\displaystyle n^{2}/n}$ = ${\displaystyle n}$. Hinter einem optischen Verstärker mit Leistungsverstärkung ${\displaystyle G}$ erhält man einen Erwartungswert von ${\displaystyle Gn}$ detektierten Signalphotonen. Im Grenzfall von großen ${\displaystyle n}$ ist die Varianz detektierter Photonen ${\displaystyle Gn(2n_{sp}(G-1)+1)}$, wobei ${\displaystyle n_{sp}}$ der spontane Emissionsfaktor ist. Man erhält ${\displaystyle SNR_{pnf,aus}}$ = ${\displaystyle G^{2}n^{2}/(Gn(2n_{sp}(G-1)+1))}$ = ${\displaystyle n/(2n_{sp}(1-1/G)+1/G)}$. Der resultierende optische Rauschfaktor ist ${\displaystyle F_{pnf}}$ = ${\displaystyle SNR_{pnf,ein}/SNR_{pnf,aus}}$ = ${\displaystyle 2n_{sp}(1-1/G)+1/G}$.

${\displaystyle F_{pnf}}$ ist in konzeptionellem oder Definitionskonflikt mit dem elektrischen Rauschfaktor, der jetzt ${\displaystyle F_{e}}$ genannt wird:

Der Photostrom ist proportional zur optischen Leistung. Die optische Leistung ist proportional zu Quadraten einer Feldamplitude (elektrisch oder magnetisch). Der Empfänger ist bezüglich Amplitude also nichtlinear. Die Leistungen, welche für die Berechnung von ${\displaystyle F_{pnf}}$ benötigt werden, sind proportional zur 4. Potenz der Signalamplitude. Doch für ${\displaystyle F_{e}}$ im elektrischen Bereich ist die Leistung proportional zum Quadrat der Signalamplitude.

Bei einer beliebigen elektrischen Frequenz gibt es Rauschen in Phase (I) und in Quadratur (Q) mit dem Signal. Diese beiden Quadraturen sind hinter dem elektrischen Verstärker verfügbar. Dasselbe gilt für einen optischen Verstärker. Aber der optische Direktempfänger, welcher für die Bestimmung von ${\displaystyle F_{pnf}}$ herangezogen wird, reagiert hauptsächlich aufs In-Phase-Rauschen, während das Quadraturrauschen für hohe ${\displaystyle n}$ vernachlässigt werden kann. Außerdem liefert der Empfängerausgang nur eine Quadratur. Eine von ursprünglich zwei Quadraturen geht also verloren.

In einem optischen Verstärker mit großem ${\displaystyle G}$ gilt ${\displaystyle F_{pnf}}$ ≥ 2, während für einen elektrischen Verstärker ${\displaystyle F_{e}}$ ≥ 1 gilt.

Der heutige faseroptische Weitverkehr wird durch kohärente optische I&Q-Empfänger dominiert, doch ${\displaystyle F_{pnf}}$ ist nicht der SNR-Verschlechterungsfaktor in diesen.

Ein weiterer optischer Rauschfaktor oder Rauschzahl ${\displaystyle F_{ase}}$ für amplified spontaneous emission wurde definiert.[3] Doch der Rauschfaktor ${\displaystyle F_{ase}}$ ist nicht der SNR-Verschlechterungsfaktor in jeglichem optischem Empfänger.

Die obigen Konflikte werden gelöst durch Herleitung von In-Phase-und-Quadratur-Rauschfaktor und -Rauschzahl ${\displaystyle F_{o,IQ}}$.[5][6] Sie kann mit kohärenten optischen I&Q-Empfängern gemessen werden. In diesen ist die Leistung des Ausgangssignals proportional zum Quadrat einer optischen Feldamplitude, weil sie amplitudenlinear sind. Sie übertragen beide Quadraturen. Für einen normalen optischen Verstärker (z. B. EDFA) gilt ${\displaystyle F_{o,IQ}}$ = ${\displaystyle n_{sp}(1-1/G)+1/G}$ ≥ 1. Die Größe ${\displaystyle n_{sp}(1-1/G)}$ ist die eingangsbezogene Anzahl hinzugefügter Rauschphotonen pro Mode. ${\displaystyle F_{o,IQ}}$ ist konsistent, als exaktes Äquivalent der elektrischen Rauschzahl: lineares System, Empfänger für 1 Mode oder 2 verfügbare Quadraturen. Es gibt Gauß-Amplitudenrauschen eines normalen Verstärkers in beiden Quadraturen.

${\displaystyle F_{o,IQ}}$ und ${\displaystyle F_{pnf}}$ können leicht ineinander umgerechnet werden. Für große ${\displaystyle G}$ gilt ${\displaystyle F_{o,IQ}}$ = ${\displaystyle F_{pnf}/2}$ oder, in dB ausgedrückt, ${\displaystyle F_{o,IQ}}$ ist 3 dB kleiner als ${\displaystyle F_{pnf}}$. Die ideale ${\displaystyle F_{o,IQ}}$ in dB ist 0 dB. Dies beschreibt die bekannte Tatsache, dass die Empfindlichkeit eines idealen optischen I&Q-Empfängers durch einen optischen Vorverstärker nicht geändert wird.

Im elektrischen Bereich gibt es thermisches Quellrauschen, weshalb die Rauschzahl für Homodynempfänger dieselbe ist wie für normale Empfänger von In-Phase- und Quadratursignalen. Im optischen Bereich gibt es dagegen nur Detektionsrauschen, nämlich das Schrotrauschen. Da sind optische Homodynempfänger empfindlicher als optische In-Phase-und-Quadraturempfänger. Sie benötigen deshalb eine andere Rauschzahl als ${\displaystyle F_{o,IQ}}$, nämlich die optische Homodynrauschzahl ${\displaystyle F_{o,I}}$. Für einen normalen optischen Verstärker gilt ${\displaystyle F_{o,I}}$ = ${\displaystyle 2n_{sp}(1-1/G)+1/G}$. Dem Wert nach ist ${\displaystyle F_{o,I}}$ gleich mit ${\displaystyle F_{pnf}}$ im optischen Direktempfänger, also einem nichtlineares System.

Elektrische Quellen erzeugen Rauschen mit einer spektralen Leistungsdichte gleich ${\displaystyle k'T=hf/(e^{hf/(kT)}-1)}$ pro Mode, wobei ${\displaystyle k}$ die Boltzmannkonstante und ${\displaystyle T}$ die absolute Temperatur ist. Bei niedrigen Frequenzen geht ${\displaystyle k'T}$ in den bekannten Term ${\displaystyle kT}$ über. Es gibt auch optisches Rauschen. Doch optische Quellen haben kein fundamentales Rauschen. Stattdessen verursacht die Energiequantelung merkliches Schrotrauschen im Detektor, entsprechend einer spektralen Leistungsdichte ${\displaystyle hf}$. Die gesamte Rauschleistungsdichte lässt sich gemäß Formeln (82b) und (82a) von [7] darstellen als ${\displaystyle k'T+hf/2}$ in einem Homodynempfänger und als ${\displaystyle k'T+hf}$ in einem In-Phase-und-Quadratur-Empfänger, also einem Empfänger mit einer verfügbaren Mode. Im elektrischen Bereich kann ${\displaystyle hf}$ vernachlässigt werden. Im optischen Bereich können ${\displaystyle kT}$ und ${\displaystyle k'T}$ vernachlässigt werden. Dazwischen, etwa im niedrigen THz- oder thermischen Bereich oder bei hohen elektrischen Frequenzen und Kryotemperaturen, ist beides zu berücksichtigen. Es ist möglich, zwischen elektrischem und optischem Bereich überzublenden, sodass man eine allgemeingültige Rauschzahl erhält.

Das wurde versucht durch eine Rauschzahl ${\displaystyle F_{fas}}$[4], wobei der Index für fluctuations of amplitude squares steht. Dort wäre zunächst ${\displaystyle kT}$ in ${\displaystyle k'T}$ auszubessern. Bei optischen Frequenzen ist ${\displaystyle F_{fas}}$ gleich ${\displaystyle F_{pnf}}$ und betrifft die Detektion von nur 1 Quadratur. Der konzeptionelle Unterschied zu ${\displaystyle F_{e}}$ kann nicht überwunden werden: Es erscheint unmöglich, dass für steigende Frequenz (von elektrisch zu thermisch zu optisch) 2 Quadraturen (in elektrischen Empfängern) allmählich zu 1 Quadratur werden.

Zur Vereinheitlichung von ${\displaystyle F_{pnf}}$ mit ${\displaystyle F_{e}}$ müssten bei steigender Frequenz oder fallender Temperatur Quadrate von Signalamplituden (Leistungen im elektrischen Bereich) graduell in 4. Potenzen von Signalamplituden (elektrische Ausgangsleistungen von optischen Direktempfängern) übergehen, was nicht möglich erscheint.

${\displaystyle F_{ase}}$ wurde ebenfalls verallgemeinert.[4] Dafür gibt es aber keinen Anlass, weil der Rauschfaktor ${\displaystyle F_{ase}}$ ja in keinem optischen Empfänger der SNR-Verschlechterungsfaktor ist.

Eine konsistente Vereinheitlichung von optischer und elektrischer Rauschzahl erhält man mit ${\displaystyle F_{e}}$ and ${\displaystyle F_{o,IQ}}$. Es gibt keine Widersprüche, weil beide konzeptionell in Einklang sind (Leistungen proportional zu Amplitudenquadraten, linear, 2 verfügbare Quadraturen, idealer Rauschfaktor gleich 1). Man erhält man die vereinheitlichte, allgemeingültige Rauschzahl ${\displaystyle F_{IQ}=(k'TF_{e}+hfF_{o,IQ})/(k'T+hf)}$ = ${\displaystyle (k'(T+T_{ex})+hf(n_{sp}(1-1/G)+1/G))/(k'T+hf)}$.[6] Dabei ist ${\displaystyle T_{ex}}$ die Zusatzrauschtemperatur.

Es lässt sich auch eine vereinheitlichte Homodynrauschzahl ${\displaystyle F_{I}}$ angeben. Wenn man in [4] den Term ${\displaystyle kT}$ in ${\displaystyle k'T}$ korrigiert, entspricht die dortige ${\displaystyle F_{fas}}$ der ${\displaystyle F_{I}}$, wobei in ${\displaystyle F_{fas}}$ allerdings thermisches Rauschen als Quantenrauschen interpretiert und diesem subsumiert wird.