Diagonale (Geometrie)

Die Anzahl ${\displaystyle d(n)}$ der Diagonalen in einem ${\displaystyle n}$-Eck,[1] also in einem Vieleck mit der Eckenzahl ${\displaystyle n}$, beträgt

${\displaystyle d(n)={\frac {n(n-3)}{2}}}$,

denn jede der ${\displaystyle n}$ Ecken wird mit ${\displaystyle n-3}$ Ecken durch eine Diagonale verbunden (nicht mit sich selbst und nicht mit den beiden Nachbarecken). Durch den Nenner (Divisor) 2 in der Formel wird berücksichtigt, dass mit dieser Betrachtung bei einem vollständigen Umlauf über alle Eckpunkte jede Diagonale zweimal erzeugt würde.

Daraus ergibt sich für die Eckenzahl 3 bis 25:

${\displaystyle n}$	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
${\displaystyle d}$	0	2	5	9	14	20	27	35	44	54	65	77	90	104	119	135	152	170	189	209	230	252	275

Bei einem konvexen Polygon liegen alle Diagonalen vollständig innerhalb des Polygons, bei einem konkaven Polygon mindestens eine Diagonale komplett außerhalb.

Die Diagonallänge ${\displaystyle d}$ von einer Ecke zur übernächsten Ecke berechnet sich aus der Länge der beiden dazwischenliegenden Seiten ${\displaystyle s_{0}}$ und ${\displaystyle s_{1}}$ und dem dazwischenliegenden Winkel ${\displaystyle \varphi _{1}}$ nach dem Kosinussatz:

${\displaystyle d={\sqrt {s_{0}^{2}+s_{1}^{2}-2s_{0}s_{1}\cos \varphi _{1}}}}$

Sind bei einer Diagonale für einen Teilumfang zwischen den Enden der Diagonale die Seiten und die Innenwinkel der dazwischenliegenden Ecken bekannt, so lässt sich die Diagonallänge daraus berechnen.

Bezeichnet man, von einem Diagonalenende ausgehend, die Seiten mit ${\displaystyle s_{i}}$ und den jeweils davor liegenden Innenwinkel mit ${\displaystyle \varphi _{i}}$ so gilt:

• Für die Diagonale über drei Seiten:

${\displaystyle d_{3}={\sqrt {(s_{0}-s_{1}\cdot \cos(\varphi _{1})+s_{2}\cdot \cos(\varphi _{1}+\varphi _{2}))^{2}+(s_{1}\cdot \sin(\varphi _{1})-s_{2}\cdot \sin((\varphi _{1}+\varphi _{2}))^{2}}}}$

• Für die Diagonale über vier Seiten gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{4}^{2}&=(s_{0}-&s_{1}\cdot \cos(\varphi _{1})+s_{2}\cdot \cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})-s_{3}\cdot \cos(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\varphi _{3}))^{2}\\&+(&s_{1}\cdot \sin(\varphi _{1})-s_{2}\cdot \sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})+s_{3}\cdot \sin(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\varphi _{3}))^{2}\end{aligned}}}$

• Allgemein für eine Diagonale über ${\displaystyle n}$ Seiten:

${\displaystyle d_{n}={\sqrt {\left(s_{0}+\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}\cdot s_{i}\cdot \cos \left(\sum _{k=1}^{i}\varphi _{k}\right)\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{n-1}-(-1)^{i}\cdot s_{i}\cdot \sin \left(\sum _{k=1}^{i}\varphi _{k}\right)\right)^{2}}}}$

Für einige Spezialfälle existieren einfache Formeln für die Diagonalenlänge:

• Die Diagonalenlängen eines Parallelogramms mit den Seitenlängen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ sowie dem Innenwinkel ${\displaystyle \alpha }$ sind:

${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }}}$

und

${\displaystyle f={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }}}$

• Für die Diagonalenlänge eines Rechtecks (${\displaystyle \alpha =90^{\circ }}$) mit den Seitenlängen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gilt daher nach dem Satz des Pythagoras:

${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

• Die Diagonalenlänge eines Quadrats mit Seitenlänge ${\displaystyle a}$ lässt sich berechnen gemäß

${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$.

• Für die Diagonalenlänge eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge ${\displaystyle a}$ gilt

${\displaystyle d={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$

• Für die Diagonalen über zwei bzw. drei Seiten im regelmäßigen Sechseck mit Seitenlänge ${\displaystyle a}$ gilt

${\displaystyle d_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$   sowie   ${\displaystyle d_{3}=2a}$.

• Allgemein ergibt sich in einem regelmäßigen Polygon mit Seitenlänge ${\displaystyle a}$ die Länge der Diagonale über ${\displaystyle k}$ Seiten als

${\displaystyle d_{k}=a\cdot \sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)\cdot \csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$.

Um die Anzahl der Diagonalen eines Polyeders zu finden, zieht man von der Zahl der Ecken den Wert 1 ab, multipliziert den Rest mit der Anzahl der Ecken und halbiert das Produkt. Von der so erhaltenen Zahl zieht man zunächst die Anzahl sämtlicher Kanten und dann die Anzahl der Diagonalen sämtlicher Seitenflächen ab.

Bezeichnet man die Eckenzahl mit ${\displaystyle E}$, die Anzahl der Flächen mit ${\displaystyle F}$ die Anzahl der Kanten mit ${\displaystyle K}$ und die Anzahl der Ecken der Fläche Nr. ${\displaystyle i}$ mit ${\displaystyle N_{i}}$ einer so ergibt sich

${\displaystyle Z={\frac {E(E-1)}{2}}-K-\sum _{i=1}^{F}{\frac {N_{i}(N_{i}-3)}{2}}}$

Für alle Parallelepipede, z. B. Quader, ergibt sich mit

${\displaystyle E=8,\quad F=6,\quad K=12,\quad N_{i}=4\quad \forall i}$:

${\displaystyle Z={\frac {8(8-1)}{2}}-12-\sum _{i=1}^{6}{\frac {4(4-3)}{2}}}$

${\displaystyle Z=28-12-6\cdot 2}$

${\displaystyle Z=4}$

• Die Länge der Raumdiagonale eines Quaders (Seitenlängen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$) beträgt ${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

• Für den Spezialfall des Würfels ergibt sich daraus ${\displaystyle d=a{\sqrt {3}}}$.