Rationalisierung (Bruchrechnung)

Als Beispiel sei der Bruch

${\displaystyle {\frac {r}{\sqrt[{n}]{x^{m}}}}}$

mit einer allgemeinen Wurzel im Nenner und mit ${\displaystyle n>m}$ gegeben. Erweitert man mit ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{n-m}}}}$, so erhält man

${\displaystyle {\frac {r}{\sqrt[{n}]{x^{m}}}}\cdot {\frac {\sqrt[{n}]{x^{n-m}}}{\sqrt[{n}]{x^{n-m}}}}={\frac {r{\sqrt[{n}]{x^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{x^{n}}}}={\frac {r{\sqrt[{n}]{x^{n-m}}}}{x}}.}$

Generell wird hierbei der Bruch mit der Konjugation des binomischen Nenners erweitert. Die Multiplikation eines Binoms mit dem konjugierten Binom tritt auch in der dritten binomischen Formel auf.

Gegeben sei der Bruch

${\displaystyle {\frac {r}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}.}$

Die Erweiterung mit dem konjugierten Binom ergibt

${\displaystyle {\frac {r}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}}{{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}}}={\frac {r({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}})}{{\sqrt {x}}^{2}-{\sqrt {y}}^{2}}}={\frac {r({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}})}{x-y}}.}$

Auch eine komplexe Zahl im Nenner eines Bruches kann vermieden werden. Nehmen wir als Beispiel den Kehrwert einer komplexen Zahl ${\displaystyle z=a+ib}$. Man erhält

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{a+ib}}.}$

Durch Erweiterung dieses Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl von ${\displaystyle z}$, d. h. ${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib}$, erhält man

${\displaystyle {\frac {1}{a+ib}}={\frac {a-ib}{(a+ib)(a-ib)}}={\frac {a-ib}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-i{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Obwohl das Rationalisieren des Nenners eine weitaus größere Rolle spielt, ist in der Analysis das Rationalisieren des Zählers oft hilfreich. Insbesondere bei der Bestimmung von Grenzwerten lassen sich dadurch oft unbestimmte Ausdrücke berechnen.

Als Beispiel sei der Ausdruck

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {r+x}}-{\sqrt {r}}}{x}}}$

gegeben. Einsetzen von ${\displaystyle x=0}$ liefert in diesem Fall den unbestimmten Ausdruck ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$. Durch Rationalisieren des Zählers erhält man unter Nutzung der dritten binomischen Formel analog zu oben:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {r+x}}-{\sqrt {r}}}{x}}\cdot {\frac {{\sqrt {r+x}}+{\sqrt {r}}}{{\sqrt {r+x}}+{\sqrt {r}}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cancel {(r+x)-r}}{{\cancel {x}}\cdot ({\sqrt {r+x}}+{\sqrt {r}})}}={\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}.}$