Rangsatz

Der Satz folgt unmittelbar aus dem Homomorphiesatz

${\displaystyle \mathrm {im} (f)\cong V/\mathrm {ker} (f)}$.

Da der Faktorraum ${\displaystyle V/\mathrm {ker} (f)}$ isomorph zu einem Komplementärraum ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$ in ${\displaystyle V}$ ist, gilt

${\displaystyle \mathrm {im} (f)\cong U}$.

Nachdem nun

${\displaystyle V=\mathrm {ker} (f)\oplus U}$

ist folgt aus der Äquivalenz von Isomorphie und Gleichheit der Dimension

${\displaystyle \dim V=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim U=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim \mathrm {im} (f)}$.

Ist eine Menge ${\displaystyle B\subset \mathrm {ker} (f)}$ eine Basis von ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$, die durch eine Menge ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ zu einer Basis ${\displaystyle A\cup B}$ von ${\displaystyle V}$ ergänzt wird (${\displaystyle A}$ ist dann eine Basis eines Komplementärraums von ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$), dann ist

${\displaystyle f(A)=\left\{f(a)\mid a\in A\right\}}$

eine Basis des Bildes ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$. Betrachtet man nun die Einschränkung ${\displaystyle f^{\prime }}$ von ${\displaystyle f}$ auf den Spann (die lineare Hülle)

${\displaystyle U=\mathrm {span} (A)}$,

dann ist ${\displaystyle f^{\prime }}$ injektiv und

${\displaystyle \mathrm {im} (f^{\prime })=\mathrm {im} (f)}$.

Somit ist ${\displaystyle f^{\prime }}$ ein Isomorphismus zwischen ${\displaystyle U}$ und dem Bild von ${\displaystyle f}$. Daher gilt

${\displaystyle \dim V=\left|A\right|+\left|B\right|=\dim U+\dim \mathrm {ker} (f)=\dim \mathrm {im} (f)+\dim \mathrm {ker} (f)}$.

Der Homomorphiesatz folgt ebenfalls – durch Übergang vom Komplementärraum zum Faktorraum.