Cos⁴-Gesetz

Veranschaulichung des für die Bildhelligkeit relevanten Raumwinkels ω

Im Cos4-Gesetz sind verschiedene Faktoren zusammengefasst. Zur Veranschaulichung der einzelnen Ursachen für den natürlichen Randlichtabfall geht man von einem flächenhaften Motiv aus, zum Beispiel einer gleichmäßig ausgeleuchteten Wand mit der Leuchtdichte L. Diese Voraussetzung gilt nicht für alle Objektive. Siehe Abschnitt Objektivkonstruktionen.

Die Abbildung soll mit einer idealen Linse erfolgen. Betrachtet man ein infinitesimales Oberflächenelement der Wand von der Größe ${\displaystyle dA=dx\cdot dy}$, das sich auf der optischen Achse befinden soll, dann beträgt die photometrische Lichtstärke I senkrecht zur Oberfläche (also in Richtung der Linse):

${\displaystyle I=dA\cdot L}$.

Der die Linse durchsetzende Lichtstrom Φ ist vom Raumwinkel ω des Lichtkegels abhängig, der durch die Linse (Kegelbasis) und den Objektpunkt (Kegelspitze) gebildet wird:

${\displaystyle \qquad \qquad \Phi =\omega \cdot I}$(Gleichung 1)

Liegt das Oberflächenelement auf der optischen Achse, so ergibt sich der Raumwinkel ω aus Linsendurchmesser d und dem Abstand g zur Wand (näherungsweise für ${\displaystyle d\ll g}$):

${\displaystyle \omega ={\frac {d^{2}}{4\cdot g^{2}}}\cdot 1sr}$

Verschiebt man nun das Oberflächenelement seitlich um einen Betrag s, so dass es von der Linse aus gesehen unter dem Winkel α zur optischen Achse erscheint, dann ändern sich sowohl die photometrische Lichtstärke I als auch der Raumwinkel ω:

Veranschaulichung des Cos4-Gesetzes

Reduktion der photometrischen Lichtstärke

Das Oberflächenelement erscheint nun von der Linse aus betrachtet um den Faktor ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ verkürzt, weil es um den Winkel α zur Blickrichtung gekippt ist (perspektivische Verkürzung) und deshalb entsprechend weniger Licht in Richtung der Linse aussendet (lambertsches Gesetz).

Daraus ergibt sich der erste Cosinus-Faktor:

${\displaystyle \qquad \qquad I'=I\cdot \cos \left(\alpha \right)}$(Gleichung 2)

Reduktion des Raumwinkels ω

Das Verschieben des Motivs hat die Entfernung g wie folgt vergrößert:

${\displaystyle g'={\frac {g}{\cos \left(\alpha \right)}}}$

Die Linse erscheint nun außerdem vom Objektpunkt aus gesehen nicht mehr kreisförmig, sondern als Ellipse, deren kurze Achse zu ${\displaystyle q=d\cdot \cos(\alpha )}$ verkürzt wurde.

Hier muss die Freiheit von Vignettierung und Pupillenaberration vorausgesetzt werden. Bei der Einzellinse ist der Linsenrand zugleich die Blende und damit die Eintrittspupille (EP) des Systems. In einem komplexeren System wird die Blende von den vor der Blende liegenden Linsen auf die EP abgebildet, wobei sie mehr oder weniger verzerrt wird (Pupillenaberration). Die EP begrenzt dann das einfallende Strahlenbündel, und sie kann mehr oder weniger Licht einlassen als bei unverzerrter Abbildung. Außerdem kann das einfallende Strahlenbündel noch von festen Blenden oder Linsenrändern beschnitten werden (Vignettierung), so dass es nicht mehr die ganze EP ausfüllt.

Damit verkleinert sich der Raumwinkel schließlich zu:

${\displaystyle \omega '={\frac {d\cdot q}{4\cdot g'^{2}}}\cdot 1sr={\frac {\cos ^{3}\alpha \cdot d^{2}}{4\cdot g^{2}}}\cdot 1sr}$,

und das ist:

${\displaystyle \qquad \qquad \omega '=\omega \cdot \cos ^{3}\alpha }$(Gleichung 3)

Analog zu Gleichung 1 ergibt sich der resultierende Lichtstrom Φ zu

${\displaystyle \Phi '=\omega '\cdot I'}$.

Setzt man ${\displaystyle \omega '}$ und I aus den Gleichungen 2 und 3 ein, ergibt sich:

${\displaystyle \Phi '=\Phi \cdot \cos ^{4}\alpha }$

Der Bildwinkel β entspricht dabei dem doppelten von α, denn er überstreicht denselben Winkel auch auf der α gegenüberliegenden Seite der optischen Achse, also gilt:

${\displaystyle \Phi '=\Phi \cdot \cos ^{4}\left({\frac {\beta }{2}}\right)}$

Dieser Ausdruck gibt an, wie groß der Lichtstrom von einem kleinen, im Winkel ${\displaystyle \alpha =\beta /2}$ zur Achse stehenden, Flächenelement durch eine kreisförmige Öffnung (hier der Linsenrand) ist. Er gilt universell, selbst wenn überhaupt keine abbildende Optik vorhanden ist.

Wird nun das Flächenelement ${\displaystyle dA}$ von der Linse bzw. dem Objektiv verzeichnungsfrei und ohne weitere Lichtverluste mit dem Abbildungsmaßstab ${\displaystyle m}$ auf die Bildebene abgebildet, so nimmt es unabhängig von ${\displaystyle \alpha }$ immer die gleiche Fläche ${\displaystyle dA'=m^{2}\cdot dA}$ auf dem Bild ein. Die Beleuchtungsstärke ${\displaystyle E}$ der Bildebene an dieser Stelle beträgt dann

${\displaystyle E={\frac {\Phi '}{dA'}}={\frac {\Phi '}{m^{2}\cdot dA}}={\frac {\Phi }{m^{2}\cdot dA}}\cos ^{4}\left({\frac {\beta }{2}}\right)}$

Somit nimmt die Beleuchtungsstärke des Bildes unter den beschriebenen Voraussetzungen mit dem Faktor ${\displaystyle \cos ^{4}\left({\frac {\beta }{2}}\right)}$ ab (Cos4-Gesetz).

Wenn das Objektiv andererseits verzeichnet, dann hängt die Fläche des Bildelements ${\displaystyle dA'}$ vom Bildwinkel ab. Einen erheblichen Einfluss hat dies bei Fischaugenobjektiven, die stark tonnenförmig verzeichnen. Mit zunehmendem Bildwinkel ${\displaystyle \alpha }$ wird hier ${\displaystyle dA'}$ immer kleiner, und das Licht konzentriert sich auf eine kleinere Fläche, was eine höhere Beleuchtungsstärke und somit eine Verminderung des Randlichtabfalls ergibt.

Bei Lichtverlusten innerhalb des optischen Systems – zum Beispiel durch Filter, Blenden, Reflexions- und Absorptionsverluste – die das Bildfeld gleichmäßig abdunkeln, entspricht die gemessene Helligkeitsverteilung immer noch dem Cos4-Gesetz, denn dieses macht ja keine konkreten Helligkeitsangaben, sondern beschreibt das Verhältnis der Helligkeiten im Zentrum bzw. am Rand des Bildfeldes. Das gilt jedoch nicht für bildwinkelabhängige Lichtverluste.

Abbildung mit einer Kugellinse

Die scheinbare Verkleinerung des Oberflächenelementes ${\displaystyle dA}$ durch die perspektivische Verkürzung und die Vergrößerung seines Abstandes vom Objektiv lässt sich nicht beeinflussen. Doch das „Zusammenquetschen“ des Lichtkegels durch die perspektivische Verkürzung der Linse (beziehungsweise der Eintrittspupille als Bild der Blendenöffnung bei einem Objektiv) zur Ellipse lässt sich mit technischen Maßnahmen reduzieren.

So könnte man eine Linse durch eine Glaskugel (oder eine Schusterkugel) ersetzen – deren Projektion erscheint unter jedem Winkel als Kreis und erfährt daher keine perspektivische Verkürzung.

In realen Objektiven nutzt man zu diesem Zweck oft eine Pupillenaberration: Die Linsen vor der Blende, die diese auf die Eintrittspupille (EP) abbilden, werden so ausgelegt, dass die EP verzerrt wird. Mit zunehmendem Einfallswinkel ${\displaystyle \beta /2}$ des Lichts wird die Fläche der EP größer. Der Querschnitt des vom Objektiv eingelassenen Strahlenbündels reduziert sich dadurch um weniger als den Faktor ${\displaystyle \cos(\beta /2)}$, und bei entsprechend starker Pupillenaberration kann er sogar größer werden. Mit vertretbarem Aufwand kann der Helligkeitsabfall um maximal etwa zwei Kosinus-Faktoren vermindert werden:

${\displaystyle B(\beta )\,\approx \,B(0)\cdot \cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)^{2}}$

Allerdings ist eine so starke Pupillenaberration mit beträchtlichem Aufwand verbunden. Die dadurch entstehen Abbildungsfehler müssen durch die Linsen nach der Blende wieder korrigiert werden. Der Helligkeitsgewinn fällt außerdem erst bei großen Bildwinkeln ${\displaystyle \beta }$ deutlich ins Gewicht, deshalb kommt eine auf diesem Prinzip basierende Korrektur in der Fotografie erst bei Weitwinkelobjektiven mit großen Bildwinkeln zur Anwendung.

• Linsengleichung

• Aperture and Pupil. Skript zur Vorlesung Optical System Design Department of Physics at National Cheng Kung University, 2001 (PDF, englisch; 1,05 MB)
• Douglas A. Kerr: Derivation of the “Cosine Fourth” Law for Falloff of Illuminance Across a Camera Image. (PDF; 146 kB) Douglas A. Kerr, 1. Mai 2007, abgerufen am 22. Juni 2016 (englisch).

1. Correcting the brightness on the screen periphery ([Shading Comp.]). (PDF; 17,1 MB) In: Owner’s Manual for advanced features - Digital Camera DMC-G7. Panasonic, S. 145, abgerufen am 22. Juni 2016 (englisch).