Geodätische Kompaktifizierung

Es sei ${\displaystyle X}$ eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung (oder allgemeiner ein Hadamard-Raum).

Wir definieren zwei geodätische Strahlen ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon \left[0,\infty \right[\to X}$ als äquivalent, wenn

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))<\infty }$

gilt. Wir bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen mit ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$, eine andere gebräuchliche Bezeichnung ist ${\displaystyle X(\infty )}$. Man sagt eine Geodäte ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to X}$ ist zu einem Punkt ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ asymptotisch, wenn ${\displaystyle \gamma \mid _{\left[0,\infty \right[}}$ zur Äquivalenzklasse ${\displaystyle p}$ gehört.

Für Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung gibt es eine Bijektion zwischen der Einheitssphäre in ${\displaystyle T_{x}X}$ (für ein beliebiges ${\displaystyle x\in X}$) und ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$, weshalb der geodätische Rand auch als „Sphäre im Unendlichen“ oder „sichtbare Sphäre“ (engl.: „visibility sphere“) bezeichnet wird. Für beliebige Hadamard-Räume (die keine Mannigfaltigkeit sind) muss ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ keine Sphäre sein.

Die geodätische Kompaktifizierung von ${\displaystyle X}$ ist die Vereinigung ${\displaystyle X\cup \partial _{\infty }X}$ mit der im folgenden Abschnitt definierten Topologie.

Die Topologie auf der Kompaktifizierung ${\displaystyle X\cup \partial _{\infty }X}$ wird durch die folgenden Bedingungen definiert.

Eine Folge ${\displaystyle x_{n}\in X}$ konvergiert genau dann gegen einen von einem geodätischen Strahl ${\displaystyle \gamma }$ repräsentierten Punkt ${\displaystyle \left[\gamma \right]\in \partial _{\infty }X}$, wenn die Folge der Geodäten[1] ${\displaystyle \gamma _{n}}$ von einem (fest gewählten) Basispunkt ${\displaystyle x_{0}}$ nach ${\displaystyle x_{n}}$ gegen eine Geodäte in der Äquivalenzklasse ${\displaystyle \left[\gamma \right]}$ konvergiert.

Eine Umgebungsbasis von ${\displaystyle \left[\gamma \right]}$ ist gegeben durch die Familie der abgebrochenen Kegel ${\displaystyle C(\gamma ,\epsilon _{j},t_{j})}$ mit ${\displaystyle \epsilon _{j}\to 0,t_{j}\to \infty }$. Hierbei ist der „Kegel“ ${\displaystyle C(\gamma ,\epsilon _{j})}$ die Menge derjenigen Punkte ${\displaystyle x}$, für die der Winkel zwischen ${\displaystyle \gamma }$ und der durch den Basispunkt ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle x}$ verlaufenden Geodäte kleiner als ${\displaystyle \epsilon _{j}}$ ist und der „abgebrochene Kegel“

${\displaystyle C(\gamma ,\epsilon _{j},t_{j})=C(\gamma ,\epsilon _{j})\setminus B(\gamma (0),t_{j})}$.

Die von dieser Umgebungsbasis erzeugte Topologie wird als Kegel-Topologie bezeichnet.

Isometrien (und allgemeiner Quasi-Isometrien) von ${\displaystyle X}$ wirken stetig auf der Kompaktifizierung ${\displaystyle X\cup \partial _{\infty }X}$.

Der Winkel-Abstand ist eine Metrik auf ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$, die im Fall euklidischer Räume die Standardmetrik der Sphäre, im Fall negativ gekrümmter Räume aber eine diskrete Metrik (je zwei Punkte haben Abstand ${\displaystyle \pi }$) gibt. Die von dieser Metrik erzeugte Topologie stimmt (außer für den flachen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) nicht mit der Kegeltopologie überein.

Der Winkel-Abstand (engl.: angle metric) zweier von geodätischen Strahlen ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ mit ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=x_{0}}$ repräsentierten Punkte ${\displaystyle \left[\gamma _{1}\right],\left[\gamma _{2}\right]\in \partial _{\infty }X}$ ist definiert als

${\displaystyle d_{<}(\left[\gamma _{1}\right],\left[\gamma _{2}\right])=\lim _{t\to \infty }\angle _{x}(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))}$.

(Falls ${\displaystyle X}$ keine Riemannsche Mannigfaltigkeit, sondern nur ein Hadamard-Raum ist, handelt es sich bei dem Winkel um den Winkel im jeweiligen Vergleichs-Dreieck.)

Insbesondere gilt ${\displaystyle d_{<}(\left[\gamma _{1}\right],\left[\gamma _{2}\right])=\pi }$ genau dann, wenn es eine Geodäte gibt, die für ${\displaystyle t\to \pm \infty }$ zu ${\displaystyle \left[\gamma _{1}\right]}$ bzw. ${\displaystyle \left[\gamma _{2}\right]}$ asymptotisch ist.

Die Tits-Metrik ${\displaystyle d_{T}}$ ist die zum Winkel-Abstand assoziierte innere Metrik.

${\displaystyle (\partial _{\infty }X,d_{T})}$ ist ein CAT(1)-Raum.[2]

Es sei ${\displaystyle X=G/K}$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. Wir betrachten die Wirkung der Isometriegruppe ${\displaystyle G=Isom(X)}$ auf ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$. Der Stabilisator jeden Punktes ist eine parabolische Untergruppe von ${\displaystyle G}$, umgekehrt kommt jede parabolische Untergruppe von ${\displaystyle G}$ als Stabilisator eines Punktes in ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ vor.[3]

Für eine echte parabolische Untergruppe ${\displaystyle P\subset G}$ sei ${\displaystyle \Sigma _{P}}$ die Menge aller von ${\displaystyle P}$ festgelassenen Punkte in ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \Sigma _{P}}$ ein Simplex und dass das Innere dieses Simplexes die Menge der Punkte mit Stabilisator gleich ${\displaystyle P}$ ist. Die Zerlegung als Simplizialkomplex

${\displaystyle \partial _{\infty }X=\bigcup _{P\ parabolische\ echte\ Untergruppe}\Sigma _{P}}$

gibt ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ die Struktur eines sphärischen Tits-Gebäudes. Die Apartments des Tits-Gebäudes entsprechen den Rändern ${\displaystyle \partial _{\infty }F}$ maximaler Flachs ${\displaystyle F}$.

• Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. (= Mathematics: Theory & Applications). Birkhäuser, Boston, MA 2006, ISBN 0-8176-3247-6
• Martin R. Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. (= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 319). Springer-Verlag, Berlin 1999. ISBN 3-540-64324-9
• Bruce Kleiner, Bernhard Leeb: Rigidity of quasi-isometries for symmetric spaces and Euclidean buildings. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 86, 1997, S. 115–197 (1998).

1. Wir benutzen, dass sich in einem CAT(0)-Raum je zwei Punkte durch eine eindeutige Geodäte verbinden lassen.
2. Bridson-Haefliger, op.cit, Theorem 9.20
3. Borel-Ji, op.cit., Proposition I.2.6