Radonmaß

Eine Definition (von Laurent Schwartz[3] und Jürgen Elstrodt[4]) lautet:

Sei ${\displaystyle (X,\tau )}$ topologischer Raum, der hausdorff ist. Ein Radonmaß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle X}$ ist ein Maß auf der Borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$, das lokal endlich und von innen regulär ist.

Lokal-endlich bedeutet: Für jedes ${\displaystyle x\in X}$ existiert eine Umgebung ${\displaystyle U}$ mit ${\displaystyle \mu (U)<\infty }$.

Von innen regulär bedeutet:

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (K)\mid K\subset A,\ K\ {\textrm {kompakt}}\}}$

für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(X)}$.

Teilweise wird zusätzlich zur obigen Definition noch gefordert, dass das Maß endlich sein soll.

Manche Autoren verwenden den Begriff "Radon-Maß" für ein Borel-Maß, bei dem jede kompakte Menge endliches Maß hat.[5] Dabei bezeichnen sie ein Maß als Borel-Maß, wenn es auf der Borelschen σ-Algebra eines topologischen Raumes definiert ist. Für einen lokal kompakten Hausdorff-Raum ist dieses Radon-Maß dann lokal endlich und entspricht somit in diesem Sonderfall einem Borel-Maß (im Sinne eines lokal endlichen Maßes auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raumes).

Im Englischen werden lokal endliche Maße auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raumes, die von innen regulär sind (also Radon-Maße im Sinne der hier gegebenen Definition) als tight measures bezeichnet[6]. Sie entsprechen dann aber nicht den straffen Maßen, wie sie im deutschen Sprachraum gebräuchlich sind.

Soweit nicht explizit anders erwähnt, behandelt dieser Artikel die Eigenschaften von Radon-Maßen im Sinne der oben gegebenen Definition.

Beispiele für Maße mit dieser Regularitätseigenschaft sind:

• Die Lebesgue-Stieltjes-Maße auf den Borel-Mengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sind genau die Radonmaße.
• Das Haar-Maß auf lokalkompakten hausdorffschen topologischen Gruppen.

Zu dem Begriff des Radonmaßes kommt man in natürlicher Weise, wenn man positive ${\displaystyle \textstyle \left(f\geq 0\Rightarrow \int f\geq 0\right)}$ lineare Funktionale „${\displaystyle \textstyle \int }$“ (sogenannte Radon-Integrale) auf ${\displaystyle C_{c}(X)}$ (den stetigen, reellwertigen Funktionen mit kompaktem Träger) auf einem lokalkompakten Hausdorff-Raum untersucht. In solchen lokalkompakten Räumen ist die Eigenschaft der Lokal-Endlichkeit eines Maßes äquivalent zu Endlichkeit des Maßes auf kompakten Mengen (siehe Borelmaß).

• Sei ${\displaystyle X}$ ein polnischer Raum, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}(X)}$ der Raum der Borel-Wahrscheinlichkeitsmaße über ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {M}}_{1}(X)}$. Dann ist ${\displaystyle \mu }$ ein Radonmaß.[7]

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.

1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, S. vii.
2. Radon, Johann Karl August. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
3. Laurent Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures (= Studies in Mathematics. Bd. 6). Oxford University Press, London 1973, ISBN 0-19-560516-0.
4. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 313.
5. Eric W. Weisstein: Radon Measure. In: MathWorld (englisch).
6. Tight measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
7. Gopinath Kallianpur und Jie Xiong: Stochastic differential equations in infinite-dimensional spaces: Chapter 2. Probability measures. 1995, S. 54, doi:10.1214/lnms/1215451870 (projecteuclid.org).