Rademacherverteilung
Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf genutzt wird.
Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.
Definition
Die Rademacherverteilung ist definiert auf und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Verteilungsfunktion ist dann
Eigenschaften
Erwartungswert und andere Lagemaße
Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist
- .
Der Median ist
- .
Symmetrie
Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.
Kumulanten
Die kumulantenerzeugende Funktion ist
- .
Damit ist die erste Ableitung
und daher die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Zweipunktverteilung
Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit .
Beziehung zur diskreten Gleichverteilung
Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf .
Beziehung zur Bernoulliverteilung
Sowohl die Bernoulliverteilung mit als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.
Beziehung zur Binomialverteilung und dem Random Walk
Sind unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist
genau der symmetrische Random Walk auf . Demnach ist
also binomialverteilt.
Beziehung zur Laplaceverteilung
Ist rademacherverteilt, und ist exponentialverteilt zum Parameter , so ist laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter .
Vorkommen
Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.