RESET-Test nach Ramsey

Im linearen Modell wird folgende Modellspezifikation angenommen

${\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\ldots +\beta _{m}X_{m}+\epsilon ,}$

und man schätzt

${\displaystyle {\hat {Y}}=b_{0}+b_{1}X_{1}+\ldots +b_{m}X_{m}.}$

Der Test prüft, ob ein nichtlineares Modell der Form

${\displaystyle Y={\hat {Y}}+\gamma _{2}{\hat {Y}}^{2}+\ldots +\gamma _{k}{\hat {Y}}^{k}+\zeta }$

nicht eine größere Erklärungskraft als das lineare Modell hat.

Die Hypothesen sind

${\displaystyle H_{0}:\gamma _{2}=\ldots =\gamma _{k}=0}$ vs. ${\displaystyle H_{1}:{\text{es existiert mindestens ein}}\;\gamma _{i}\neq 0}$.

Die Teststatistik ist

${\displaystyle {\frac {\frac {R_{1}^{2}-R_{0}^{2}}{k}}{\frac {1-R_{1}^{2}}{n-(m+k)-1}}}\sim F_{k-1;n-m-k}}$

mit

• ${\displaystyle R_{0}^{2}}$: das Bestimmtheitsmaß des linearen Modells,
• ${\displaystyle R_{1}^{2}}$: das Bestimmtheitsmaß des nichtlinearen Modells,
• ${\displaystyle n}$: der Stichprobenumfang,
• ${\displaystyle m}$: die Anzahl der erklärenden Variablen und
• ${\displaystyle k}$: die Anzahl der zusätzlichen Parameter im nichtlinearen Modell.

Werden auch die Koeffizienten der linearen Regression im nichtlinearen Modell neu geschätzt und unterscheiden sie sich wesentlich von den geschätzten Koeffizienten im linearen Modell, so ist dies auch ein Hinweis auf eine Fehlspezifikation.

Der RESET-Test nach Ramsey lässt sich auch auf verallgemeinerte lineare Modelle erweitern.[3]

Lineare Regression bei einem nichtlinearen Zusammenhang.

In den Boston-Housing-Daten wird der mittlere Kaufpreis von Häusern pro Bezirk (medv) in Abhängigkeit vom Anteil der Unterschichtbevölkerung (lstat) mittels einer einfachen linearen Regression geschätzt. Die Regressiongerade im Streudiagramm zeigt deutlich, dass der Zusammenhang zwischen den beiden Variablen nichtlinear ist.

Der RESET-Test nach Ramsey (mit ${\displaystyle {\hat {y}}^{2}}$ und ${\displaystyle {\hat {y}}^{3}}$) ergibt folgendes Ergebnis:

 RESET test
data:  linreg
RESET = 83.4103, df1 = 2, df2 = 502, p-value < 2.2e-16

Wie die Grafik bereits nahelegt, wird die Nullhypothese verworfen, da der p-Wert kleiner ist als z. B. ein Signifikanzniveau von ${\displaystyle \alpha =5\,\%}$.

1. J.B. Ramsey: Tests for Specification Errors in Classical Linear Least-squares Regression Analysis. In: Journal of the Royal Statistical Society, Series B. Band 31, Nr. 2, 1969, S. 350–371, JSTOR:2984219.
2. Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie. Addison-Wesley Verlag, 2004, ISBN 978-3-8273-7118-8.
3. Sunil Sapra: A regression error specification test (RESET) for generalized linear models. In: Economics Bulletin. Band 3, Nr. 1, 2005, S. 1–6 (accessecon.com [PDF; abgerufen am 31. August 2023]).