Rückwärtsmartingal
Ein Rückwärtsmartingal, auch inverses Martingal[1] oder rückwärts gerichtetes Martingal[2] genannt, ist ein stochastischer Prozess, der aus einem Martingal entsteht, indem man die Indexmenge umkehrt. Anschaulich handelt es sich also um ein Martingal, das „rückwärts abgespielt wird“. Ebenso wie für Martingale existieren auch für Rückwärtsmartingale Konvergenzsätze. Diese finden beispielsweise bei dem Beweis des Darstellungssatzes von de Finetti über die Struktur von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen Verwendung.
Definition
Gegeben sei eine Filtrierung und ein -Martingal. Dann heißt der Prozess
ein Rückwärtsmartingal.
Eigenschaften
Man beachte, dass für die Filtrierung weiterhin für mit gilt. enthält somit alle relevanten Informationen des Prozesses.
Rückwärtsmartingale sind immer gleichgradig integrierbar, da sie aufgrund der Martingaleigenschaft immer die Darstellung
besitzen und Doob-Martingale immer gleichgradig integrierbar sind.
Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale
Aussage
Ist ein Martingal bezüglich , so existiert
im Mittel und fast sicher. Mit
gilt dann
- .
Analog zum Martingalkonvergenzsatz folgt der Beweis mittels der Aufkreuzungsungleichung durch Betrachten der Aufkreuzungen zwischen und über .
Folgerung
Eine für die Herleitung des Satzes von de Finetti wichtige Folgerung aus der obigen Aussage ist die folgende: Ist
und eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen mit Werten in sowie die Permutation der Zufallsvariablen unter und
das symmetrisierte Mittel. Dann gilt im Mittel und fast sicher
- .
Dabei bezeichnet die terminale σ-Algebra und die austauschbare σ-Algebra.
Literatur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
Einzelnachweise
- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 84, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
- Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 267.