Quotientennorm

Es seien ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum und ${\displaystyle U\subset X}$ ein Untervektorraum. Auf dem Faktorraum ${\displaystyle X/U}$ definiere man

${\displaystyle \|x+U\|:=\inf\{\|x-y\|;\,y\in U\}=\mathrm {dist} (x,U)}$.

Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben; sie ist genau dann eine Norm, wenn der Unterraum abgeschlossen ist, man nennt sie die Quotientennorm bzw. Quotientenhalbnorm.

Ist ${\displaystyle U\subset X}$ ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes ${\displaystyle X}$, so ist die Quotientenabbildung ${\displaystyle T:X\rightarrow X/U}$ linear, stetig, bildet die offene Einheitskugel von ${\displaystyle X}$ auf die offene Einheitskugel von ${\displaystyle X/U}$ ab und es ist ${\displaystyle U=\mathrm {ker} (T)}$. Die Operatornorm der Quotientabbildung ist ${\displaystyle 1}$, falls ${\displaystyle U}$ ein echter Unterraum ist, anderenfalls gleich ${\displaystyle 0}$.

Seien umgekehrt ${\displaystyle X,Y}$ normierte Räume und ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ eine lineare Abbildung, die die offene Einheitskugel von ${\displaystyle X}$ auf die offene Einheitskugel von ${\displaystyle Y}$ abbildet. Dann ist ${\displaystyle T}$ stetig, surjektiv und die Isomorphie ${\displaystyle X/\mathrm {ker} (T)\cong Y}$ ist eine Isometrie.

Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:

• Ist ${\displaystyle X}$ ein Banachraum und ${\displaystyle U\subset X}$ ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ${\displaystyle X/U}$ ein Banachraum, d. h. die Vollständigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Hilbertraum und ${\displaystyle U\subset X}$ ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ${\displaystyle X/U}$ ein Hilbertraum, d. h. auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein gleichmäßig konvexer Raum und ${\displaystyle U\subset X}$ ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ${\displaystyle X/U}$ gleichmäßig konvex.
• Ist ${\displaystyle X}$ eine Banachalgebra und ${\displaystyle U\subset X}$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch ${\displaystyle X/U}$ eine Banachalgebra, d. h. die Submultiplikativität der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
• Ist ${\displaystyle X}$ eine C^*-Algebra und ${\displaystyle U\subset X}$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch ${\displaystyle X/U}$ eine C^*-Algebra, d. h. die C^*-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.

Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes ${\displaystyle X}$ wird durch eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ von Halbnormen erzeugt. Sei ${\displaystyle U\subset X}$ ein Unterraum. Für jedes ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ ist die Quotientenhalbnorm ${\displaystyle {\hat {p}}}$ eine Halbnorm auf dem Quotientenraum ${\displaystyle X/U}$, wobei

${\displaystyle {\hat {p}}(x+U):=\inf\{p(x+y);\,y\in U\}}$.

Dann stimmt die Finaltopologie auf ${\displaystyle X/U}$ mit der durch die Halbnormen ${\displaystyle \{{\hat {p}};p\in {\mathcal {P}}\}}$ erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 54