Quasi-Isometrie

Seien ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ und ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ zwei metrische Räume.

• Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ ist eine quasi-isometrische Einbettung, wenn es Konstanten ${\displaystyle A\geq 1}$ und ${\displaystyle B\geq 0}$ gibt derart, dass${\displaystyle {\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B\quad {\mbox{für alle}}\;x,y\in M_{1}}$.
• Zwei Abbildungen ${\displaystyle f,g\colon M_{1}\to M_{2}}$ haben endlichen Abstand, falls ${\displaystyle \sup _{x\in M_{1}}d_{2}(f(x),g(x))<\infty }$.
• Zwei Abbildungen ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ und ${\displaystyle g\colon M_{2}\to M_{1}}$ sind quasi-invers zueinander, wenn ${\displaystyle g\circ f}$ und ${\displaystyle id_{M_{1}}}$ sowie ${\displaystyle f\circ g}$ und ${\displaystyle id_{M_{2}}}$ jeweils endlichen Abstand haben.
• Eine Abbildung ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$ ist eine Quasi-Isometrie, wenn sie eine Quasi-Einbettung ist und es eine zu ${\displaystyle f}$ quasi-inverse Quasi-Einbettung ${\displaystyle g:M_{2}\to M_{1}}$ gibt.

• Die Räume ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ und ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ sind quasi-isometrisch, wenn es eine Quasi-Isometrie ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ gibt.[1]

• Die identische Abbildung auf einem metrischen Raum ist eine Quasi-Isometrie.
• Die Verkettung von quasi-isometrischen Einbettungen (Quasi-Isometrien) ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
• Eine Abbildung, die einen endlichen Abstand von einer quasi-isometrischen Einbettung (Quasi-Isometrie) hat, ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
• Eine Quasi-Einbettung zwischen metrischen Räumen ist genau dann eine Quasi-Isometrie, wenn sie quasi-dicht ist, was wie folgt definiert ist: Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ zwischen metrischen Räumen ist quasi-dicht, wenn eine Konstante ${\displaystyle C\geq 0}$ existiert so, dass es für jedes ${\displaystyle u\in M_{2}}$ ein ${\displaystyle x\in M_{1}}$ mit ${\displaystyle d_{2}(u,f(x))\leq C}$ gibt.[2]

Die Einbettung ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$ ist eine Quasi-Isometrie

Jeder beschränkte metrische Raum ist quasi-isometrisch zum Punkt.

Die Einbettung ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ist eine Quasi-Isometrie für die euklidische Metrik auf ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ und ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Man kann in obiger Definition ${\displaystyle A=1}$, ${\displaystyle B=0}$ und ${\displaystyle C=1}$ setzen.

Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen ${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ zugeordneten Cayley-Graphen sind quasi-isometrisch.

Švarc-Milnor-Lemma: Wenn eine endlich erzeugte Gruppe ${\displaystyle G}$ kokompakt und eigentlich diskontinuierlich durch Isometrien auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle Y}$ wirkt, dann ist (der Cayley-Graph von) ${\displaystyle G}$ quasi-isometrisch zu ${\displaystyle Y}$. (Siehe auch Satz von Švarc-Milnor.)

Mit ${\displaystyle Y={\widetilde {X}}}$ erhält man daraus insbesondere: Die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}X}$ einer kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$.

Die metrischen Räume mit den quasi-isometrischen Einbettungen bilden nach obigen Eigenschaften eine Kategorie. Diese ist allerdings für Quasi-Isometrien nicht interessant, da ihre Isomorphismen bijektiv sein müssen und daher viele wichtige Quasi-Isometrien keine Isomorphismen sind, wie zum Beispiel die in den obigen Beispielen genannte Quasi-Isometrie zwischen ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ und ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Man geht daher zu einer Kategorie über, in der die metrischen Räume immer noch die Objekte sind, aber die Morphismen Äquivalenzklassen quasi-isometrischer Einbettungen sind. Dabei heißen zwei quasi-isometrische Einbettungen äquivalent, wenn sie endlichen Abstand haben; dies definiert offenbar eine Äquivalenzrelation. Bezeichnet ${\displaystyle [f]}$ die Äquivalenzklasse der quasi-isometrischen Einbettung ${\displaystyle f}$, so ergeben die Definitionen

• ${\displaystyle 1_{M}:=[\mathrm {id} _{M}]}$
• ${\displaystyle [f]\circ [g]:=[f\circ g]}$ (Wohldefiniertheit!)

eine Kategorie. In dieser Kategorie sind die Isomorphismen genau die Äquivalenzklassen von Quasi-Isometrien. Die in dieser Kategorie gebildete Automorphismengruppe eines metrischen Raums heißt dessen Quasi-Isometrie-Gruppe.[3]

• Clara Löh: Geometric group theory, an introduction. Skript zur Vorlesung Geometrische Gruppentheorie an der Universität Regensburg, 2015. (Engl.; PDF; 1,3 MB), Kapitel 5.
• Michael Kapovich: Lectures in quasi-isometric rigidity. (Engl.; PDF; 319 kB).

1. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Definition 5.1.6
2. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Proposition 5.1.10
3. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Remark 5.1.12 und Definition 5.1.13