Quantilsregression

Pinball-Verlustfunktion mit ${\displaystyle \tau =0{,}9}$. Für ${\displaystyle \varepsilon <0}$ beträgt der Fehler ${\displaystyle -0{,}1\varepsilon }$, für ${\displaystyle \varepsilon \geq 0}$ beträgt er ${\displaystyle 0{,}9\varepsilon }$.

Sei ${\displaystyle Y}$ eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)}$, dann entspricht das (bedingte) ${\displaystyle \tau }$-Quantil von ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle Q_{Y}(\tau )=F_{Y}^{-1}(\tau )=\inf \left\{y\colon F_{Y}(y)\geq \tau \right\}}$

mit ${\displaystyle \tau \in (0,1).}$

Seien ${\displaystyle (\mathbf {x} _{i},y_{i})}$ mit ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ beobachtete Paare von unabhängigen Variablen ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ und zugehörigen abhängigen Variablen ${\displaystyle y_{i}}$. Das Regressionsmodell wird als ${\displaystyle y_{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}}$ beschrieben, wobei prinzipiell auch nichtlineare Zusammenhänge angenommen werden können. Die optimalen Regressionsparameter können durch die folgende empirische Risikominimierung bestimmt werden:[2][3]

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{\tau }=\arg \min _{\beta _{\tau }}\sum _{i=1}^{n}w_{\tau }(y_{i},\eta _{i,\tau })|y_{i}-\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }|}$.

Hierbei entspricht ${\displaystyle \eta _{i,\tau }=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }}$ dem linearen Prädiktor. Die Verlustfunktion entspricht der geneigten absoluten Abweichung:

${\displaystyle w_{\tau }(y_{i},\eta _{i,\tau })={\begin{cases}1-\tau &{\textrm {falls}}\quad y_{i}<\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }\\\tau &{\textrm {falls}}\quad y_{i}\geq \mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }\end{cases}}.}$

Aufgrund ihres Aussehens wird die Verlustfunktion auch pinball loss genannt.[4]

Das Optimierungsproblem kann mit typischen Optimierungsalgorithmen gelöst werden.

Beachte, dass die Unsicherheit extremer Quantile tendenziell größer ist, da die Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle f}$ der zugrundeliegenden Verteilung dort sehr kleine Werte annimmt, siehe Empirisches Quantil#Eigenschaften:

${\displaystyle {\text{Empirisches p-Quantil}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu =p,\sigma ^{2}={\frac {p(1-p)}{Nf(x_{p})^{2}}}\right),}$

wobei ${\displaystyle p}$ das Quantil ist, ${\displaystyle N}$ die Stichprobengröße und ${\displaystyle x_{p}=F^{-1}(p)}$ der Wert der Zufallsvariable beim p-Quantil.

• Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian D. Marx: Regression – Models, Methods and Applications. Springer, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, Kapitel 10: Quantile Regression, doi:10.1007/978-3-642-34333-9 (E-Book-ISBN 978-3-642-34333-9).
• David J. Petersen et al.: Perspektiven einer pluralen Ökonomik. Springer Vieweg. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-16144-6, S. 238–240.

1. David J. Petersen et al.: Perspektiven einer pluralen Ökonomik. Springer Vieweg. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-16144-6, S. 238.
2. Roger Koenker, Gilbert Basset Jr.: Regression Quantiles. In: Econometrica: journal of the Econometric Society. 1978, S. 33–50.
3. Roger Koenker, Kevin F. Hallock: Quantile regression. In: Journal of economic perspectives. Band 15, Nr. 4, 2001, S. 143–156.
4. Ingo Steinwart, Andreas Christmann: Estimating conditional quantiles with the help of the pinball loss. In: Bernoulli. Band 17, Nr. 1, Februar 2011, ISSN 1350-7265, S. 211–225, doi:10.3150/10-BEJ267, arxiv:1102.2101 (projecteuclid.org [abgerufen am 11. Juli 2020]).
5. Portnoy, Stephen. "Censored quantile regression." Journal of American Statistical Association 98.1 (2003): 00.
6. Handbook of Quantile Regression. (2017). Vereinigtes Königreich: CRC Press. Seiten 80 ff. Google Books
7. Cho, Hyunkeun & Kim, Seonjin & Kim, Mi-Ok, 2017. "Multiple quantile regression analysis of longitudinal data: Heteroscedasticity and efficient estimation," Journal of Multivariate Analysis, Elsevier, vol. 155(C), pages 334-343.