Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion

Jedes ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle \mathbb {P} (X<r)\leq \alpha \leq F_{X}(r),\quad \alpha \in (0,1)}$

heißt ${\displaystyle \alpha }$-Quantil von ${\displaystyle X}$ oder von ${\displaystyle F_{X}}$.

Die Stelle

${\displaystyle q_{X}^{+}(\alpha )=\min\{x\in \mathbb {R} \mid F_{X}(x)\geq \alpha \}=\inf\{x\in \mathbb {R} \mid F_{X}(x)>\alpha \}}$

heißt oberes ${\displaystyle \alpha }$-Quantil.

Die Stelle

${\displaystyle q_{X}^{-}(\alpha )=\sup\{x\in \mathbb {R} \mid F_{X}(x)<\alpha \}}$

heißt unteres ${\displaystyle \alpha }$-Quantil.

Eine Funktion ${\displaystyle q_{X}\colon (0,1)\to \mathbb {R} }$, wobei ${\displaystyle q_{X}(\alpha )}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ein ${\displaystyle \alpha }$-Quantil von ${\displaystyle X}$ ist, heißt Quantilfunktion von ${\displaystyle X}$ oder von ${\displaystyle F_{X}}$.

Die Funktion

${\displaystyle F_{X-}^{-1}\colon (0,1)\to \mathbb {R} }$

definiert durch

${\displaystyle F_{X-}^{-1}(u):=\min\{x\in \mathbb {R} \mid F_{X}(x)\geq u\}=q_{X}^{-}(u)}$

heißt die linke verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion[1] oder die untere Quantilfunktion von ${\displaystyle F_{X}}$.

Die Funktion

${\displaystyle F_{X+}^{-1}\colon (0,1)\to \mathbb {R} }$

definiert durch

${\displaystyle F_{X+}^{-1}(u):=\inf\{x\in \mathbb {R} \mid F(x)>u\}=q_{X}^{+}(\alpha )}$

heißt die rechte verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion oder die obere Quantilfunktion von ${\displaystyle F_{X}}$.

Zufallsvariablen werden als messbare Abbildungen zwischen Messräumen eingeführt. Ist auf dem Grundraum noch ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert, so kann ihre Verteilung definiert werden. Im Laufe der weiteren Abstraktion werden aber der Grundraum und zugehöriges Wahrscheinlichkeitsmaß immer unwichtiger im Gegensatz zur Verteilung der Zufallsvariable. Effektiv lässt sich zeigen, dass zu jeder Zufallsvariable mit einer vorgegebenen Verteilung ein passender Grundraum mit Wahrscheinlichkeitsmaß ergänzen lässt. Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion liefert für reelle Verteilungen solch ein Argument: Jede reellwertige Zufallsvariable mit vorgegebener Verteilung kann als Zufallsvariable auf dem Intervall von null bis eins, versehen mit der stetigen Gleichverteilung, aufgefasst werden.[5] Somit kann die Untersuchung von Zufallsvariablen und ihren Verteilungen von dem zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum losgelöst werden.

Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion ist monoton wachsend, linksseitig stetig und damit eine Zufallsvariable bzw. messbar von ${\displaystyle ((0,1),{\mathcal {B}}((0,1)))}$ nach ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$. Versieht man den Messraum ${\displaystyle ((0,1),{\mathcal {B}}((0,1)))}$ mit der stetigen Gleichverteilung ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{(0,1)}}$ oder äquivalent dem Lebesgue-Maß, so gilt:

Die Verteilung von ${\displaystyle F^{-1}}$ unter ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{(0,1)}}$ ist das Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, welches die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ besitzt.

Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{P}}$ kann damit als Verteilung der Zufallsvariable

${\displaystyle F_{P}^{-1}\colon ((0,1),{\mathcal {B}}((0,1)),{\mathcal {U}}_{(0,1)})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

aufgefasst werden.

Die obige Konstruktion wird teils auch verwendet, um die Existenz reellwertiger unabhängiger Zufallsvariablen zu zeigen. Dabei wird zuerst über ein Approximationsargument die Existenz von stochastisch unabhängigen, auf dem Intervall ${\displaystyle (0,1)}$ unabhängigen Zufallsvariablen gezeigt. Die Verkettung dieser Zufallsvariablen mit vorgegebenen verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktionen sind dann reellwertige Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilung und wieder stochastisch unabhängig.[6]

Ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P}$ (oder eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit Verteilung ${\displaystyle P_{X}=P}$) gegeben, so liefert die zugehörige verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion ${\displaystyle F^{-1}}$, ausgewertet an der Stelle ${\displaystyle u}$, stets ein ${\displaystyle u}$-Quantil. Dies folgt direkt aus der Definition.

Verschiedene Risikomaße, die im Finanzsektor eingesetzt werden, basieren auf Quantilfunktionen. Dabei sind die Zusammenhänge zwischen den Quantilfunktionen der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle -X}$ von besonderem Interesse. Es gilt

${\displaystyle q_{-X}^{-}(\alpha )=-q_{X}^{+}(1-\alpha ),\quad 0<\alpha <1}$

und

${\displaystyle q_{-X}^{+}(\alpha )=-q_{X}^{-}(1-\alpha ),\quad 0<\alpha <1.}$

Wenn ${\displaystyle X}$ eine Verlustvariable ist, die für eine finanzielle Position den zufälligen Gewinn oder Verlust so angibt, dass Verluste durch positive Zahlen und Gewinne durch negative Zahlen dargestellt werden, dann ist der Value at Risk zum Sicherheitsniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ durch das untere ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil der Verlustvariablen ${\displaystyle X}$ definiert,

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X]=q_{X}^{-}(1-\alpha )\;.}$

Wird stattdessen als Zufallsvariable die zugehörige Gewinnvariable ${\displaystyle Y=-X}$ betrachtet, bei der Verluste durch negative und Gewinne durch positive Zahlen angegeben werden, so ist

${\displaystyle q_{X}^{-}(1-\alpha )=-q_{-X}^{+}(\alpha )=-q_{Y}^{+}(\alpha ).}$

Die Value at Risk-Maßzahl ist bei Berechnung aus der Gewinnvariablen ${\displaystyle Y}$ das mit dem negativen Vorzeichen versehene obere ${\displaystyle \alpha }$-Quantil der Gewinnvariablen.