Zustand (Quantenmechanik)

Im Gegensatz zum klassischen Begriff legt der Zustand in der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik nicht für jede am System durchführbare Messung einen mit Sicherheit zu erwartenden Messwert fest, sondern nur für jeden möglichen Messwert die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P}$, dass gerade dieser Wert eintritt. Den Grenzfall ${\displaystyle P=1}$ für einen Messwert (und damit ${\displaystyle P=0}$ für alle anderen), was die sichere Voraussage dieses einen Messwerts bedeutet, gibt es nur bei denjenigen Zuständen, die Eigenzustände zu der betreffenden Messgröße sind. Für zwei verschiedene Messgrößen existieren in vielen Fällen überhaupt keine gemeinsamen Eigenzustände, so z. B. für den Ort und die Geschwindigkeit. Solche Messgrößen heißen zueinander inkommensurabel. Im Gegensatz zum klassischen Zustand steht auch, dass die Zeitentwicklung des quantenmechanischen Zustands nicht durchgehend deterministisch festgelegt ist. Stattdessen wird im Allgemeinen durch eine Messung der Zustand des Systems auf eine Weise verändert, die nicht beeinflusst und nur mit gewisser Wahrscheinlichkeit vorhergesagt werden kann.

Die sogenannte „Präparation“ eines Systems in einem bestimmten Zustand erfolgt durch die gleichzeitige Messung eines maximalen Satzes kommensurabler physikalischer Größen.[1] Nach dieser Messung befindet sich das System in einem wohldefinierten gemeinsamen Eigenzustand aller dieser Messgrößen, sodass diese bestimmte Werte besitzen. Wenn das System nicht schon vorher in einem solchen gemeinsamen Eigenzustand war, verursacht die Messung schlagartig eine Zustandsreduktion, auch Kollaps genannt, sodass danach alle anderen möglichen Messwerte dieser Größen die Wahrscheinlichkeit Null haben. Die Zustandsreduktion ist kein physikalischer Vorgang, sondern beschreibt die durch die Messung eingetretene genauere Information des Beobachters.[2] Zwischen zwei Messungen ist die Zeitentwicklung des Zustands durch eine Bewegungsgleichung deterministisch festgelegt; im nichtrelativistischen Fall durch die Schrödinger-Gleichung, im relativistischen, abhängig von Spin und Masse des Teilchens, durch die Klein-Gordon-Gleichung (Spin 0), die Dirac-Gleichung (massiv, Spin ½), die Weyl-Gleichung (masselos, Spin ½), die Proca-Gleichung (massiv, Spin 1) oder die Maxwell-Gleichungen (masselos, Spin 1).

Mathematisch wird der quantenmechanische Zustand meist durch einen auf den Betrag 1 normierten Zustandsvektor im Hilbertraum beschrieben. Mithilfe einer Basis des Hilbertraums mit diskretem Index kann dieser Zustandsvektor als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden, oder bei einer Basis mit kontinuierlichem Index als Wellenfunktion. Zu jedem der (bei gegebenem Zustand) möglichen Messwerte einer physikalischen Größe besitzt der zugehörige Zustandsvektor mindestens eine Komponente. Die Stärke einer Komponente, ihre „Amplitude“, bestimmt die Wahrscheinlichkeit, mit der der betreffende Messwert als Ergebnis einer Messung auftritt; diese ist das Betragsquadrat der Amplitude.

Die Zuordnung von einem gegebenen Zustand zu einem Zustandsvektor ist nicht eindeutig, denn Zustandsvektoren, die sich nur durch einen konstanten komplexen Phasenfaktor unterscheiden, beschreiben denselben physikalischen Zustand. Jede Linearkombination der Zustandsvektoren zweier verschiedener Zustände ist (nach Normierung) selbst ein möglicher Zustandsvektor, der als kohärente Überlagerung der beiden Zustände bezeichnet wird. Diese Überlagerung ist kohärent, weil je nach der (relativen) Phase der beiden komplexen Koeffizienten der Linearkombination ein physikalisch verschiedener Zustand entsteht. Die theoretischen Grundlagen, um die quantenmechanischen Zustände als Hilbertraumvektor mit der Möglichkeit der Linearkombination zu beschreiben, wurden 1925 von Werner Heisenberg in der Matrizenmechanik entwickelt, die Beschreibung als Wellenfunktion in der Orts- oder Impulsbasis 1926 von Erwin Schrödinger in der Wellenmechanik.

Die beiden Beschreibungen als Vektor oder Wellenfunktion beruhen auf derselben tiefer liegenden mathematischen Struktur. In dieser wird jeder Zustand mit einer mathematischen Funktion identifiziert, die jedem der Operatoren, die eine Messgröße darstellen, eine reelle Zahl zuordnet. Der Zustand ist also eine Abbildung von der Menge der Operatoren in die Menge der reellen Zahlen. Der Funktionswert ist der für den betreffenden Zustand gültige Erwartungswert der möglichen Messergebnisse, die bei einzelnen Messungen dieser Größe erhalten werden können. Nach dieser Begriffsbildung, die 1931 von John von Neumann ausgearbeitet wurde, ist der Zustand im Allgemeinen durch einen Dichteoperator zu beschreiben. Dies gilt auch noch, wenn statt eines bestimmten Zustands ein inkohärentes Gemisch verschiedener Zustände vorliegt, wie z. B. nach der in realen Experimenten meistens nicht ganz idealen Präparation, aber auch in der Theorie der Vielteilchensysteme in der Quantenstatistik. Man unterscheidet dann zwischen reinen und gemischten Zuständen. Ein reiner Zustand hat als Dichteoperator einen Projektionsoperator auf einen 1-dimensionalen Unterraum. Das entspricht genau der obigen Definition durch einen bis auf einen Phasenfaktor festgelegten Hilbertraumvektor. Die beliebige Phase ist damit aus dem Formalismus eliminiert. Der Dichteoperator für einen gemischten Zustand ist eine mit relativen Häufigkeiten, also reellen Zahlen zwischen Null und Eins, gewichtete Summe solcher Projektionsoperatoren auf verschiedene 1-dimensionale Unterräume.

Die Einführung von Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse anstelle einer eindeutigen Voraussage bedeutet eine grundsätzliche Abkehr von der klassischen Physik. Dort ist nämlich mit der Angabe des momentanen Systemzustands das Ergebnis jeder möglichen Messung eindeutig festgelegt (immer fehlerfreie Messung vorausgesetzt). Dies trifft für makroskopische Systeme (z. B. aus dem Alltag) im Allgemeinen sehr gut zu. Beispielsweise lassen sich einer Schrotkugel oder einem Sandkorn in jedem Moment mit praktisch eindeutiger Genauigkeit ein bestimmter Ort und eine bestimmte Geschwindigkeit zuschreiben.

Für immer kleinere Systeme wird dies jedoch zunehmend falsch, für ein Ensemble quantenmechanischer Teilchen[3] ist es ausgeschlossen. Die streng gültige Heisenbergsche Unschärferelation von 1927 besagt nämlich: liegt der Aufenthaltsort eindeutig fest, dann kann eine Messung der Geschwindigkeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden beliebigen Wert ergeben, und umgekehrt; d. h. zu jeder Zeit kann nur eine der beiden Größen eindeutig bestimmt werden. Diese Unbestimmtheit lässt sich auch durch das präziseste Präparieren des Systemzustands nicht beseitigen. Sie ist mathematisch rigoros, relativ einfach zu beweisen[4] und bildet eine zentrale begriffliche Grundlage der Physik.

Zusätzliche Unsicherheit über das zu erwartende Messergebnis entsteht, wenn der Zustand des Systems nicht eindeutig festgelegt ist. Das gilt z. B. für den häufigen Fall, dass das beobachtete System aus einer Anzahl gleichartiger Systeme herausgegriffen wird, die nicht alle im selben Zustand präpariert sind. Die unterschiedlichen Zustände, in denen sich das beobachtete System (mit möglicherweise unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit) befinden kann, bilden dann ein Zustandsgemisch.

Hier ließe sich die Unsicherheit über die zu erwartenden Messergebnisse verringern, indem nur Systeme im selben Zustand zur Messung ausgewählt werden. Zur Verdeutlichung des Unterschieds zum Zustandsgemisch wird ein eindeutig präparierter Zustand gelegentlich auch als reiner Zustand bezeichnet.

Im Folgenden bedeutet Zustand hier immer reiner Zustand.

Ein Zustand, in dem für eine bestimmte Messgröße der zu erwartende Messwert eindeutig festliegt, heißt Eigenzustand zu dieser Messgröße. Beispiele sind

1. das Teilchen ist an einem Ort lokalisiert (Ortseigenzustand)
2. das Teilchen hat eine bestimmte Geschwindigkeit oder Impuls (Impulseigenzustand)
3. das Teilchen ist in einem gebundenen Zustand bestimmter Energie (Energieeigenzustand).

Die Beispiele 1 und 2 sind streng genommen (wegen einer mathematischen Subtilität: des Vorliegens eines „kontinuierlichen Spektrums“) nur im Grenzfall zulässig (beim Beispiel 2 etwa im „monochromatischen Grenzfall“ eines unendlich ausgedehnten Wellenpakets, während das Beispiel 1 daraus durch eine Fouriertransformation erhalten wird). Beide Beispiele spielen eine bedeutende Rolle in der theoretischen Beschreibung.[5]

Beispiel 3 ist ein Zustand, in dem eine physikalische Größe (nämlich die Energie) einen bestimmten Wert hat, während sowohl für den Ort als auch für den Impuls nur Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Messergebnisse angegeben werden können (für den Ort z. B. durch das Orbital, für den Impuls durch das Betragsquadrat der Fouriertransformierten der betreffenden Ortswellenfunktion).

Für ein Teilchen in Gestalt eines Massepunkts ist in der klassischen Mechanik der Zustand durch den Ort und den Impuls gegeben, also durch einen Punkt im sechsdimensionalen Phasenraum. Da bei Teilchenstrahlen aber auch Interferenzeffekte beobachtet werden (Welle-Teilchen-Dualismus), muss auch die Möglichkeit, dass die Superposition (oder Überlagerung, Linearkombination mit komplexen Faktoren) mehrerer Zustände einen möglichen Zustand bildet, zugelassen werden (siehe Materiewellen). So ist jeder Zustand, für den die Quantenmechanik zu einer Messgröße mehrere mögliche Messwerte mit je eigenen Wahrscheinlichkeiten voraussagt, eine Superposition derjenigen Zustände, die die zu diesen Messwerten gehörigen Eigenzustände sind. Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten dieser Eigenwerte als Messergebnis zu erhalten, ist durch das Betragsquadrat seiner Wahrscheinlichkeitsamplitude festgelegt. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist der (im Allgemeinen komplexe) Faktor, mit dem der betreffende Eigenzustand in dieser Superposition vorkommt.

Es gibt keinen prinzipiellen Unterschied zwischen den Eigenschaften, Superpositionszustand oder Basis- oder Eigenzustand zu sein: Jeder Zustand eines Systems kann als Basiszustand einer geeignet gewählten Basis betrachtet werden, aber auch als Superpositionszustand von den Basisvektoren einer anderen Basis. Jeder Zustand kann mit jedem anderen Zustand desselben Systems überlagert werden, und jeder Zustand kann als Überlagerung anderer Zustände dargestellt werden. Zustände, die als Superposition definiert wurden, sind also auch reine Zustände im obigen Sinn. Gelegentlich werden sie jedoch ungenau als gemischte Zustände angesprochen, was aber vermieden werden sollte, weil Verwechslungen mit dem Begriff Zustandsgemisch auftreten könnten.

Der quantenmechanische Phasenraum wird durch die Möglichkeit der Superposition erheblich mächtiger als der Phasenraum der klassischen Mechanik für dasselbe System. Als Maß dieses erweiterten Raumes gilt in der statistischen Quantenphysik aber nicht die Größe dieser Menge selbst, sondern ihre Dimension;[6] das ist die kleinstmögliche Zahl der Zustände, aus denen sich durch Superposition alle überhaupt möglichen Zustände des Systems ergeben können. Innerhalb dieser kleinstmöglichen Teilmenge ist demnach keiner der Zustände als Superposition der anderen darstellbar, deshalb sind sie linear unabhängig und bilden eine Basis des ganzen Phasenraums.

Im Vergleich mit der Zustandsdichte in der klassischen statistischen Physik zeigt sich, dass jeder quantenmechanische Zustand einer solchen Basis das „Phasenraumvolumen“ ${\displaystyle (2\pi \hbar )^{n}=h^{n}}$ belegt, wobei ${\displaystyle n}$ die Anzahl unabhängiger Ortskoordinaten ist und ${\displaystyle h}$ das Plancksche Wirkungsquantum. Die physikalische Dimension dieses „Volumens“ ist für ${\displaystyle n=1}$ die einer Wirkung = Energie mal Zeit, oder = Ort mal Impuls.

Zu einem allgemeineren Begriff eines quantenmechanischen Zustands kommt man, wenn der Begriff nicht wie oben als Ausgangspunkt der Beschreibung definiert wird, sondern aus allgemeineren Annahmen abgeleitet wird. Dem mathematisch strikten Aufbau der Quantenmechanik wird nur zugrunde gelegt, dass es physikalische Größen gibt, die an einem physikalischen System gemessen werden können, wobei sie je nach Zustand des Systems bestimmte Werte zeigen. Die physikalischen Größen haben (wegen der Möglichkeiten der Produktbildung (insbesondere Vertauschungsrelationen) und Linearkombination etc.) eine algebraische Struktur und bilden u. B. eine Untermenge einer C*-Algebra.[7] Ihre Werte sind eine Untermenge der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Der Zustand des Systems ist diejenige Abbildung der C*-Algebra auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$, die jeder physikalischen Größe (unter Wahrung der Linearität) ihren Erwartungswert zuweist.[8]

Diese Abbildung ist in mathematisch strikter Benennung ein lineares Funktional auf der Algebra der Observablen. Damit eine Abbildung ${\displaystyle \psi }$ von der C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ auf die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ einen quantenmechanischen Zustand darstellt, muss das Funktional positiv und normiert sein, d. h., es muss gelten: ${\displaystyle \psi (AA^{*})\geq 0\;\forall A\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle \psi ({\hat {1}})=1}$. Dabei ist ${\displaystyle {\hat {1}}}$ das Einselement der Algebra.

Die Menge dieser Zustände ist eine konvexe Menge, das heißt, wenn ${\displaystyle \psi }$ und ${\displaystyle \phi }$ Zustände sind und ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$, dann ist auch ${\displaystyle \varphi =a\psi +(1-a)\phi }$ ein Zustand. Zustände ${\displaystyle \varphi }$, die sich nicht mit einem ${\displaystyle 0<a<1}$ so in zwei andere zerlegen lassen, heißen Extremalpunkte der Menge. Sie haben die Eigenschaften der oben mittels Hilbertraumvektoren definierten reinen Zustände. Alle anderen Elemente der Menge sind Zustandsgemische, die als Summe oder Integral über reine Zustände ausgedrückt werden können.

Jedem Zustand kann mittels der GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung ${\displaystyle \pi \colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ zugeordnet werden. Jeder normierte Vektor ${\displaystyle |\psi \rangle }$ im Hilbertraum, ${\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}=1}$, entspricht einem reinen Zustand ${\displaystyle \psi }$ auf ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und umgekehrt kann jedem reinen Zustand ein Vektor zugeordnet werden. Es gilt

${\displaystyle \psi (a)\ \Leftrightarrow \ \langle \psi |\pi (a)\psi \rangle }$

wobei ${\displaystyle \langle \psi |\pi (a)\psi \rangle }$ das Skalarprodukt im Hilbertraum aus ${\displaystyle |\psi \rangle }$ und ${\displaystyle |\pi (a)\psi \rangle }$ bezeichnet. Die reinen Zustände bilden die irreduziblen Darstellungen im Hilbertraum.

Für die mathematische Darstellung des oben physikalisch definierten reinen Zustands eignen sich zwei Formen, die zueinander äquivalent sind:

• ein Zustandsvektor in einem abzählbar-unendlich-dimensionalen Vektorraum mit einem Skalarprodukt, der als Hilbertraum bezeichnet wird. Diese Darstellung geht zurück auf Werner Heisenberg[9] und Paul Dirac[10] und hat oft den Vorzug der übersichtlichen Darstellung in algebraischen Gleichungen. Ein Zustand wird hier als Vektor notiert, wofür sich nach Dirac das Ket-Symbol ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ durchgesetzt hat.
• eine Zustandsfunktion, z. B. die orts- und zeitabhängige Materiewelle. Ein Zustand wird hier als Wellenfunktion notiert, z. B. ${\displaystyle \psi (t,{\vec {r}})}$. Diese Darstellung geht auf Erwin Schrödinger zurück[11] und ist oft leichter zu veranschaulichen, vor allem, wenn es sich nur um einziges Teilchen handelt.

Der Zustandsvektor ${\displaystyle |\psi \rangle }$ im Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ist, wie auch ein Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$, ein mathematisches, abstraktes Objekt. So wie der Ortsvektor in einer Basisdarstellung

${\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {e}}_{i}\left({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}}\right)=\sum _{i=1}^{3}x_{i}{\vec {e}}_{i}}$

geschrieben werden kann, wobei ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ drei zueinander orthogonale Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum sind, kann der Zustandsvektor in jeder beliebigen vollständigen Orthonormalbasis entwickelt werden. Für diese Entwicklung ist es nötig, den Kovektor ${\displaystyle \langle \psi |}$ einzuführen, der als Bra-Vektor im Dualraum zum Hilbertraum ansässig ist. Mathematisch betrachtet ist ein Bra-Vektor ein lineares Funktional, das auf dem Hilbertraum in die komplexen Zahlen opereriert. Wie für Vektoren im euklidischen Raum gilt analog als Entwicklung

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{\infty }|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}|\phi _{i}\rangle }$

mit ${\displaystyle c_{i}=\langle \phi _{i}|\psi \rangle \in \mathbb {C} }$. Da die Basisvektoren ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ eine Orthonormalbasis bilden, gilt

${\displaystyle \langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$

mit dem Kronecker-Delta ${\displaystyle \delta _{ij}}$ und

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$

mit der unendlichdimensionalen Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$. Da in der Quantenmechanik – im Gegensatz zum euklidischen Vektorraum – auch kontinuierliche Basen auftreten können, gilt für eine Entwicklung in einer kontinuierlichen Basis entsprechend

${\displaystyle \langle x|y\rangle =\delta (x-y)}$

mit der Dirac-Distribution ${\displaystyle \delta (x-y)}$ beziehungsweise

${\displaystyle \int \mathrm {d} x\,|x\rangle \langle x|=I}$.

Um in der Schreibweise nicht zwischen kontinuierlichen und diskreten Basen unterscheiden zu müssen, wird teilweise das Symbol ⨋ verwendet.

Wenn der Zustandsvektor in einer Basis dargestellt wird, dann zumeist in der Eigenbasis eines hermiteschen Operators, der mit einer physikalischen Messgröße identifiziert wird. Die Eigenzustände eines solchen Operators werden häufig mit dem Formelzeichen der entsprechenden physikalischen Größe bezeichnet:

1. ${\displaystyle |x\rangle }$ bezeichnet den Ortseigenzustand eines Teilchens,
2. ${\displaystyle |p\rangle }$ den Impulseigenzustand,
3. ${\displaystyle |E\rangle }$ den Energieeigenzustand. Dabei kann ${\displaystyle E}$ sowohl diskrete Werte annehmen (z. B. bei gebundenen Zuständen) als auch kontinuierliche Werte (z. B. bei ungebundenen Zuständen).
4. Wird einem Eigenwert eine Quantenzahl zugeordnet (z. B. Quantenzahl ${\displaystyle n}$ für das ${\displaystyle n}$-te Energieniveau ${\displaystyle E_{n}}$, Quantenzahlen ${\displaystyle j,\,m}$ für Betrag und z-Komponente des Drehimpulses), so wird der zugehörige Eigenzustand angegeben durch Angabe der Quantenzahl(en) oder durch ein extra vereinbartes Symbol (Beispiele: ${\displaystyle |n\rangle ,|j,m\rangle ,\left|{\uparrow }\right\rangle }$).

Damit die Wellenfunktion nach der Bornschen Regel als Wahrscheinlichkeitsamplitude aufgefasst werden kann, ist es nötig, den Zustandsvektor zu normieren. Das heißt, für einen physikalischen Zustand muss

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$

gelten. Allerdings legt dies den Vektor ${\displaystyle |\psi \rangle }$ nicht umkehrbar eindeutig fest, sondern nur bis auf einen konstanten Faktor ${\displaystyle a=e^{\mathrm {i} \alpha },\ \alpha \in \mathbb {R} }$, also eine komplexe Zahl mit Betrag Eins. Diese wird auch als quantenmechanische Phase des Zustands bzw. Zustandsvektors bezeichnet. Die Vektoren ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \alpha }|\psi \rangle }$, die alle denselben Zustand beschreiben, spannen einen eindimensionalen Unterraum (Strahl) auf.

Die Wellenfunktionen ${\displaystyle \psi (x)}$ beziehungsweise ${\displaystyle \psi (p)}$ sind die Entwicklungskoeffizienten des Zustandsvektors in der Orts- beziehungsweise Impulsbasis:[12]

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \mathrm {d} x\,|x\rangle \langle x|\psi \rangle =\int \mathrm {d} x\,|x\rangle \psi (x)}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \mathrm {d} p\,|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \mathrm {d} p\,|p\rangle \psi (p)}$

Eine messbare physikalische Größe wird durch einen Operator dargestellt, der im Hilbertraum eine lineare Transformation bewirkt. Messgröße ${\displaystyle A}$ und zugehöriger Operator ${\displaystyle {\hat {A}}}$ werden zusammengefasst Observable genannt. Die möglichen Messergebnisse ${\displaystyle A_{i}}$ sind die Eigenwerte des Operators. Das heißt, es gilt für einen Eigenzustand ${\displaystyle |A_{i}\rangle }$ des Operators

${\displaystyle {\hat {A}}|A_{i}\rangle =A_{i}|A_{i}\rangle }$

Da alle möglichen Messergebnisse reelle Zahlen sind, muss der Operator hermitesch sein, d. h. folgende Bedingung erfüllen:

${\displaystyle \langle \phi \vert {\hat {A}}\vert \psi \rangle =\langle \psi \vert {\hat {A}}\vert \phi \rangle ^{*}.}$

Bei einem Zustand, der nicht Eigenzustand des betreffenden Operators ist, können Messergebnisse nicht sicher, sondern nur mit Wahrscheinlichkeiten vorhergesagt werden. Diese Wahrscheinlichkeiten berechnen sich für jeden Eigenwert als Betragsquadrat aus dem Skalarprodukt des betreffenden Eigenvektors der Messgröße mit dem Zustandsvektor des Systems:

${\displaystyle P(A_{i})={\Big |}\langle A_{i}|\psi \rangle {\Big |}^{2}}$

Nach der Messung ist der Zustandsvektor auf den zum entsprechenden Eigenwert zugehörigen Unterraum kollabiert, das heißt

${\displaystyle |\psi \rangle _{\text{vor}}\to |\psi \rangle _{\text{nach}}=|A_{i}\rangle }$

Dadurch ist gleichzeitig das System im Eigenzustand ${\displaystyle |A_{i}\rangle }$ präpariert, denn nach dieser Messung liegt es genau in diesem Zustand vor. Eine instantan erfolgende erneute Messung dieser Observable ergibt daher sicher wieder denselben Wert.

Als Erwartungswert ${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle }$ wird der Mittelwert vieler Einzelmessungen der Observable an immer gleichen Systemen im selben Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ bezeichnet. Aus dem Spektrum aller möglicher Einzelergebnisse ${\displaystyle A_{i}}$ und ihren Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle P_{i}}$ ergibt sich:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {A}}\vert \psi \rangle }$.

Linearkombinationen zweier Zustandsvektoren, also z. B. ${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$ mit komplexen Zahlen ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$, die die Bedingung ${\displaystyle c_{1}c_{1}^{*}+c_{1}c_{2}^{*}+c_{2}c_{1}^{*}+c_{2}c_{2}^{*}=1}$ erfüllen, beschreiben ebenfalls erlaubte Zustände (s. o. Superposition von Zuständen). Hierbei ist, anders als bei einem einzelnen Zustandsvektor, die relative Phase der Faktoren, d. h. die komplexe Phase ${\displaystyle \phi }$ im Quotienten ${\displaystyle {\tfrac {c_{2}}{c_{1}}}=\vert {\tfrac {c_{2}}{c_{1}}}\vert e^{i\phi }}$, nicht mehr beliebig; je nach Phase hat der Überlagerungszustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ verschiedene physikalische Eigenschaften.[13] Daher wird von kohärenter Superposition gesprochen, weil wie bei optischer Interferenz mit kohärentem Licht nicht die Betragsquadrate, sondern die „erzeugenden Amplituden“ selbst, also ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ und ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, superponiert werden.

Ein Zustandsgemisch, in dem sich das System mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p_{i}}$ im Zustand ${\displaystyle \psi _{i}}$ (mit ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,\,n}$) befindet, wird durch den Dichteoperator ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ dargestellt, das ist die Summe der entsprechenden Projektionsoperatoren:

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}p_{i}\vert \psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\vert }$

Im Gegensatz zur kohärenten Superposition bleibt der Dichteoperator unverändert, wenn die im Gemisch vertretenen Zustände ${\displaystyle \psi _{i}}$ mit beliebigen Phasenfaktoren versehen werden; im Zustandsgemisch werden die Zustände also inkohärent überlagert.

Der Erwartungswert einer Messung der Observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ist dementsprechend die gewichtete inkohärente Summe der Erwartungswerte der einzelnen Bestandteile des Gemischs:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle \psi _{i}\vert {\hat {A}}\vert \psi _{i}\rangle }$

Dies kann auch als Spur des Operators ${\displaystyle {\hat {\rho }}{\hat {A}}}$ dargestellt werden:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\operatorname {Sp} ({\hat {\rho }}{\hat {A}})}$.

Die letzte Gleichung hat den Vorzug, dass sie gleichermaßen für Gemische und für reine Zustände gilt. (Bei einem reinen Zustand ${\displaystyle \psi _{i}}$ ist ${\displaystyle {\hat {\rho }}=\vert \psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\vert }$ der zum Zustand gehörige Projektionsoperator.)

Der Dichteoperator wird auch als „Zustandsoperator“ bezeichnet.