Quantenzahl

Die Hauptquantenzahl ${\displaystyle \,n}$ beschreibt die Schale (bzw. das Haupt-Energieniveau), zu der der Zustand des Elektrons gehört. Sie kann beliebige natürliche Zahlenwerte

${\displaystyle \,n=1,\,2,\,3\,\ldots }$

annehmen. Die Schalen werden auch der Reihe nach mit K-,L-,M-,N-...Schale bezeichnet. Elektronen in der K-Schale befinden sich im Mittel dichter am Atomkern als Elektronen in der L-Schale. L-Schalen-Elektronen wiederum sind im Mittel näher am Atomkern als M-Schalen-Elektronen usw.
In der einfachsten quantenmechanischen Berechnung (Schrödingergleichung mit Coulomb-Potential) liegt das Energieniveau damit schon fest:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {me^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}=-E_{\mathrm {R} }{\frac {1}{n^{2}}}}$

mit der Rydberg-Energie ${\displaystyle E_{\mathrm {R} }\approx 13{,}6\,\mathrm {eV} }$, allerdings müssen im allgemeinen Fall Korrekturen zu dieser einfachen Formel hinzugefügt werden, siehe Quantendefekttheorie. Große ${\displaystyle \,n}$ entsprechen immer höheren Anregungen, bei sehr großem ${\displaystyle \,n}$ spricht man von Rydberg-Atomen.

Die Nebenquantenzahl (auch Bahnquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl) ${\displaystyle l}$ kennzeichnet die Form des Atomorbitals in einem Atom. Bei gegebenem ${\displaystyle n}$ kann ihr Wert jede kleinere natürliche Zahl (einschließlich Null) sein:

${\displaystyle l=0,\,1,\,2\,\,\ldots <n}$.

Der Name „Drehimpulsquantenzahl“ verweist darauf, dass ${\displaystyle l(l+1)\hbar ^{2}}$ der Eigenwert des Quadrats des Drehimpulsoperators ${\displaystyle {\hat {\vec {l}}}^{2}}$ ist.

Im laufenden Text wird der Wert von ${\displaystyle l}$ oft durch bestimmte, historisch festgelegte Buchstaben gekennzeichnet:

• s für ${\displaystyle l=0}$ (ursprünglich für ‚scharf‘, z. B. „s-Zustand“)
• p für ${\displaystyle l=1}$ (ursprünglich für engl. ‚principal‘, ‚Haupt‘-Zustand)
• d für ${\displaystyle l=2}$ (ursprünglich für ‚diffus‘)
• f für ${\displaystyle l=3}$ (ursprünglich für ‚fundamental‘)
• g für ${\displaystyle l=4}$

und entsprechend alphabetisch weiter. Die gleiche Bezeichnungsweise wird z. B. auch für die Partialwellen bei Streuung, Kernreaktionen usw. verwendet.

Die magnetische Quantenzahl des Drehimpulses wird mit ${\displaystyle \,m_{l}}$ bezeichnet und beschreibt die räumliche Orientierung des Elektronen-Bahndrehimpulses, genauer: die Größe seiner ${\displaystyle z}$-Komponente in Einheiten ${\displaystyle \hbar }$. Deshalb wird sie gelegentlich auch als ${\displaystyle \,l_{z}}$ bezeichnet. Sie kann betragsmäßig nicht größer als die Nebenquantenzahl ${\displaystyle \,l}$ sein, aber auch negative ganzzahlige Werte annehmen (siehe auch Richtungsquantelung):

${\displaystyle m_{l}={\frac {L_{z}}{\hbar }}=-l,\,-(l-1),\,\ldots ,\,-1,\,0,\,1,\ldots ,(l-1),\,l.}$

Sie heißt Magnetquantenzahl, weil sie die zusätzliche potentielle Energie des Elektrons charakterisiert, die bei Anlegen eines Magnetfeldes in ${\displaystyle z}$-Richtung auftritt (Zeeman-Effekt). Durch seine Bewegung erzeugt das Elektron ein magnetisches Moment. Bei (dem Betrag nach) maximaler ${\displaystyle z}$-Komponente ${\displaystyle \,m_{l}=\pm l}$ zeigt sein Bahndrehimpuls die maximal mögliche parallele oder antiparallele Ausrichtung zur ${\displaystyle z}$-Achse, und das mit ihm verbundene magnetische Moment bewirkt die im angelegten Feld maximal mögliche Energieerhöhung bzw. -verminderung. Bei ${\displaystyle \,m_{l}=0}$ ist die ${\displaystyle z}$-Komponente des Bahndrehimpulses null und bleibt ohne Einfluss auf die Energie des Elektrons.

Da der Spin(vektor) ${\displaystyle {\vec {s}}}$ des Elektrons die Spinquantenzahl

${\displaystyle s=+{\tfrac {1}{2}}}$

hat, gibt es für seine ${\displaystyle z}$-Komponente nur zwei mögliche Werte:

${\displaystyle s_{z}=\pm {\tfrac {1}{2}}\hbar .}$

Die magnetische Spinquantenzahl ${\displaystyle m_{s}}$ beschreibt die Orientierung seines Spins zur ${\displaystyle z}$-Achse:

${\displaystyle m_{s}={\frac {s_{z}}{\hbar }}=\pm {\tfrac {1}{2}}.}$

Die Paritätsquantenzahl ${\displaystyle \,P}$ bezeichnet das Symmetrieverhalten des Zustands unter Raumspiegelung. Sie kann die Werte ${\displaystyle +1}$ und ${\displaystyle -1}$ annehmen und hat keine Entsprechung in der klassischen Physik. Bis auf wenige Ausnahmen haben alle Energieeigenzustände der verschiedenen quantenmechanischen Systeme in sehr guter Näherung eine dieser beiden Quantenzahlen.

Die Gesamtdrehimpulsquantenzahl ${\displaystyle \,j}$ beschreibt den Gesamtdrehimpuls, der die Summe aus zwei oder mehr einzelnen Drehimpulsen ist. Z. B. hat das Elektron einen Bahndrehimpuls (Quantenzahl ${\displaystyle \,l}$) und einen Spin (Quantenzahl ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}$). Daher können sich Eigenzustände bilden zur Gesamtdrehimpulsquantenzahl

${\displaystyle j=l+{\tfrac {1}{2}}}$ und zu

${\displaystyle j=l-{\tfrac {1}{2}},}$

weiter zu unterscheiden durch die magnetischen Quantenzahlen

${\displaystyle m_{j}=[-j,-(j-1),\dots ,j].}$

In solchen Zuständen sind ${\displaystyle l}$ und ${\displaystyle s}$ noch gute Quantenzahlen, ${\displaystyle m_{l}}$ und ${\displaystyle m_{s}}$ aber nicht mehr.

Bei mehreren Elektronen im Atom kann man auch die Zustände bilden, in denen die Summe der Bahndrehimpulse einen wohldefinierten Gesamtbahndrehimpuls (Quantenzahl ${\displaystyle L}$) bilden und die Summe der Spins einen Gesamtspin (Quantenzahl ${\displaystyle S}$). Diese Zustände können sich weiter koppeln zu Zuständen mit wohldefinierter Gesamtdrehimpuls-Quantenzahl der Atomhülle:

${\displaystyle J=|L-S|,\ |L-S|+1,\ \dots ,\ L+S-1,\ L+S.}$

Dieses Kopplungsschema heißt LS-Kopplung und beschreibt in guter Näherung die Energieeigenzustände leichter Atome.

Die Kernspinquantenzahl ${\displaystyle I}$, auch kurz Kernspin genannt, beschreibt den Drehimpuls eines ganzen Atomkerns. Dieser setzt sich zusammen aus den Spins und den Bahndrehimpulsen der einzelnen Protonen und Neutronen, weshalb er folgende Werte annehmen kann:

• ganzzahlig, wenn die Nukleonenzahl gerade ist, z. B. ${\displaystyle I({}^{14}\mathrm {N} )=1}$
• halbzahlig, wenn die Nukleonenzahl ungerade ist, z. B. ${\displaystyle I({}^{1}\mathrm {H} )=1/2.}$

Die Gesamtdrehimpulsquantenzahl des Atoms ${\displaystyle F}$ beschreibt den Gesamtdrehimpuls eines ganzen Atoms. Dieser setzt sich aus dem Gesamtdrehimpuls ${\displaystyle J}$ aller Elektronen und dem Kernspin ${\displaystyle I}$ zusammen:

${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}}.}$

Für seinen Betrag gilt:

${\displaystyle |{\vec {F}}|={\sqrt {F(F+1)}}\hbar }$

Dabei nimmt ${\displaystyle F}$ (für gegebenes ${\displaystyle J}$) folgende Werte an:

${\displaystyle F=|J-I|,\ |J-I|+1,\ ...,\ J+I-1,\ J+I.}$

Die radiale Quantenzahl ${\displaystyle n_{r}\,}$ ist die Anzahl der Nullstellen (Knoten) im radialen Anteil der Wellenfunktion eines gebundenen Teilchens. In der der Nomenklatur der Atomphysik gilt:

${\displaystyle n_{r}=(n-1)-l\geq 0}$

mit

• ${\displaystyle n}$: Hauptquantenzahl
• ${\displaystyle n-1}$: Anzahl der Knoten insgesamt
• ${\displaystyle l}$: Nebenquantenzahl = Anzahl der Knoten im winkelabhängigen Teil der Wellenfunktion:

Schale ${\displaystyle n}$	${\displaystyle n-1}$ = Anz. Knoten insgesamt	Nebenquantenzahl ${\displaystyle l}$ = Anz. Knoten im winkelabh. Teil der WF	radiale Quantenzahl ${\displaystyle n_{r}}$ = Anz. Knoten im radiusabh. Teil der WF
1	0	0	0
2	1	0	1
		1	0
3	2	0	2
		1	1
		2	0

usw.

In der Nomenklatur der Kern- und Teilchenphysik hingegen ist

${\displaystyle n_{r}=n-1}$.