Quanteninvariante
Im mathematischen Gebiet der Knotentheorie sind Quanteninvarianten Invarianten von Knoten, Verschlingungen und 3-Mannigfaltigkeiten, die mittels der Darstellungstheorie von Quantengruppen oder allgemeiner aus Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung definiert werden.
Konstruktion via R-Matrizen
Gegeben seien eine R-Matrix und ein Isomorphismus , sowie eine Markow-Spur .
Mittels der R-Matrix definiert man Darstellungen der Zopfgruppen durch
- .
Mittels des Satzes von Alexander kann man jede Verschlingung als Abschluss eines Zopfes darstellen. Mittels der Markow-Spur erhält man aus dem so definierten Endomorphismus eine Invariante und mit dem Satz von Markow kann man zeigen, dass diese Invariante wohldefiniert ist.
Beispiele von Quanteninvarianten
- Kontsevichs universelle Knoteninvariante
- Kashaev-Invariante
- Witten–Reshetikhin–Turaev-Invariante (siehe auch: Chern-Simons-Funktional)
- Rozansky–Witten-Invariante
- LMO-Invariante
- Turaev–Viro-Invariante
- Dijkgraaf–Witten-Invariante
- Reshetikhin–Turaev-Invariante
- Casson-Walker-Invariante
- HOMFLY-Polynom
- Vassiliev-Invarianten (Invarianten endlichen Typs)
Weblinks
- Garoufalidis: Quantum Knot Invariants
Literatur
- N. Reshetikhin, V. G. Turaev: Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups. In: Invent. Math. 103, no. 3, 1991, S. 547–597.
- Robion Kirby, Paul Melvin: The 3-manifold invariants of Witten and Reshetikhin-Turaev for sl(2,C). In: Invent. Math. 105, no. 3, 1991, S. 473–545.
- Tomotada Ohtsuki: Quantum invariants. A study of knots, 3-manifolds, and their sets. (= Series on Knots and Everything. 29). World Scientific Publishing, River Edge, NJ 2002, ISBN 981-02-4675-7.
- Vladimir G. Turaev: Quantum invariants of knots and 3-manifolds. (= de Gruyter Studies in Mathematics. 18). 2., überarb. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022183-1.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.