Quadratwurzel aus 3

Angenommen, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier teilerfremder ganzer Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ schreiben:

${\displaystyle {\sqrt {3}}={a \over b}}$.

Durch Quadrieren der Gleichung erhält man

${\displaystyle 3={a^{2} \over b^{2}}}$

daraus folgt

${\displaystyle 3b^{2}=a^{2}.}$

Aber dann ist für eine ganze Zahl ${\displaystyle p}$

${\displaystyle a=3p,}$

weil ${\displaystyle b^{2}}$ eine ganze Zahl ist und damit ${\displaystyle a^{2}/3}$ eine ganze Zahl sein muss und damit auch 3 als Teiler von ${\displaystyle a}$ existieren muss.

Daraus folgt wieder

${\displaystyle 3=9{p^{2} \over b^{2}}}$,

also

${\displaystyle b^{2}=3p^{2}}$

Aber dann ist auch für eine ganze Zahl ${\displaystyle q}$

${\displaystyle b=3q}$,

was einen Widerspruch bedeutet, weil ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ teilerfremd sind.

Die ersten 100 Nachkommastellen:

1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 1690880003 7081146186 7572485756[1]

Weitere Dezimalstellen finden sich auch unter Folge A002194 in OEIS.

Der derzeitige Weltrekord der Berechnung der Nachkommastellen (vom 9. Juni 2019) liegt bei 2.000.000.000.000 und wurde von Hiroyuki Oodaira (大平 寛之) erzielt.[2]

Das Verhältnis der Seitenlängen a und r dieses Rechtecks im Kreis ist ${\displaystyle {\tfrac {\sin {60^{\circ }}}{\cos {60^{\circ }}}}={\sqrt {3}}.}$

Konstruktion in vier Schritten; die gepunktete Linie ist nicht Teil der Konstruktion.

• Ein rechtwinkliges Dreieck mit einer kleinen Kathete gleich ${\displaystyle 1}$ und einer Hypotenuse gleich ${\displaystyle 2}$ hat, nach dem Satz des Pythagoras, eine große Kathete gleich ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$.
• Das Verhältnis zwischen der Diagonale eines dreidimensionalen Würfels und der Kantenlänge beträgt ${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$
• Die Distanz zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten eines regulären Sechsecks mit der Seitenlänge a beträgt ${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$, oder anders gesagt, das Doppelte des Inkreisradius ${\displaystyle a{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}$
• Der Verkettungsfaktor, das Verhältnis von Phasenspannung (230 V) zu Außenleiterspannung (400 V), beträgt bei Dreiphasenwechselstrom ${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$
• Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a beträgt ${\displaystyle a{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$, sein Flächeninhalt ${\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}.}$

• Eric W. Weisstein: Theodorus’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A028257 in OEIS (Engel-Entwicklung (englisch Engel expansion) von √3)

1. The square root of 3 to 100,000 places (Memento vom 29. September 2007 im Internet Archive) von Owen O’Malley (englisch)
2. Records set by y-cruncher. Abgerufen am 12. August 2019.