Q-Differenz

Der q-Differenz-Operator ist das diskrete Analogon zur gewöhnlichen Ableitung und definiert als[1]

${\displaystyle (D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}}}$.

Es gilt somit

${\displaystyle \lim \limits _{q\to 1^{-}}(D_{q}f)(x)=f'(x)}$

und

${\displaystyle D_{q}x^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}x^{n-1}=[n]_{q}x^{n-1}}$

wobei ${\displaystyle [n]_{q}}$ das q-Analogon von ${\displaystyle n}$ ist.

Das q-Integral ist definiert als

${\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} _{q}x:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left[aq^{n}-aq^{n+1}\right]f(aq^{n})}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} _{q}x:=\int _{0}^{b}f(x)\mathrm {d} _{q}x-\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} _{q}x.}$

1. Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2.