Pythagoraszahl

Für einen Körper ${\displaystyle F}$ sei

${\displaystyle \sum F^{2}:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\;{\Big |}\;n\in \mathbb {N} ,a_{1},\ldots ,a_{n}\in F{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0\right\}}$

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

${\displaystyle \sum ^{k}F^{2}:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\;{\Big |}\;n\leq k,a_{1},\ldots ,a_{n}\in F{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0\right\}}$

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in ${\displaystyle F}$, die höchstens Länge ${\displaystyle k}$ haben. Offensichtlich gilt ${\displaystyle \textstyle \sum ^{k}F^{2}\subseteq \sum F^{2}}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Unklar ist dagegen, ob immer ein ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ existiert, so dass ${\displaystyle \textstyle \sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}}$. Als Pythagoraszahl von ${\displaystyle F}$ bezeichnen wir die folgende Größe:

${\displaystyle p(F):=\min \left\{k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}\;{\Big |}\;\sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}\right\}}$

wobei ${\displaystyle p(F)=\infty }$ genau dann, wenn ${\displaystyle \textstyle \sum ^{k}F^{2}\varsubsetneq \sum F^{2}}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ gilt. Es ist stets ${\displaystyle p(F)\geq 1}$.

1. Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$ ein ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$, so dass ${\displaystyle a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=b^{2}}$. Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen ${\displaystyle p(\mathbb {R} )=1}$. Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
2. Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen ${\displaystyle p(\mathbb {C} )=1}$.
3. Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen ${\displaystyle p(\mathbb {Q} )=4}$, d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Satz Falls ${\displaystyle F}$ nicht-reeller Körper ist, (das heißt ${\displaystyle -1\in \sum F^{2}}$,) lässt sich die Pythagoraszahl von ${\displaystyle F}$ abschätzen durch die Stufe ${\displaystyle s(F)}$ von ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1}$

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)

Falls ${\displaystyle F}$ ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade[2], nach dem für einen beliebigen Körper ${\displaystyle F}$ mit ${\displaystyle {\text{char}}(F)>0}$ gilt, dass ${\displaystyle s(F)\leq 2}$ (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass ${\displaystyle p(F)\leq 3}$.

Ganz exakt kann man im Fall ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$ werden, wo ${\displaystyle q}$ eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz ${\displaystyle p(\mathbb {F} _{q})=2}$ für alle ${\displaystyle q=p^{n}}$ wo ${\displaystyle p>2}$ prim und ${\displaystyle n>0}$ ist.

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Sei ${\displaystyle F/\mathbb {Q} }$ eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter ${\displaystyle d={\text{trdeg}}(F)}$ der Transzendenzgrad von ${\displaystyle F}$ über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle p(F)\leq 2^{d+2}}$ für alle ${\displaystyle d}$ gilt.

Wegen ${\displaystyle p(\mathbb {Q} )=4}$ ist diese Abschätzung scharf für ${\displaystyle d=0}$.

Für ${\displaystyle d=1}$ wurde bisher ${\displaystyle p(F)\leq 6}$ gezeigt[3]. Vermutlich gilt aber sogar ${\displaystyle p(F)\leq 5}$, was dann wegen ${\displaystyle p(\mathbb {Q} (t))=5}$ eine scharfe Abschätzung wäre.[4]

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von ${\displaystyle p(F)\leq 2^{d+2}}$ findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s. u.

• Pythagoreischer Körper

Wikibooks: einige Beweise zur Pythagoraszahl – Lern- und Lehrmaterialien

• Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern

1. Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133–136
2. A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993
3. Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel
4. Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971