Pyramide (Geometrie)

Hat das Polygon ${\displaystyle n}$ Ecken, den Flächeninhalt ${\displaystyle G}$ und ist die Höhe der Pyramide ${\displaystyle h}$, so gilt:[2]

1. Anzahl der Ecken: ${\displaystyle n+1}$
2. Anzahl der Flächen: ${\displaystyle n+1}$
3. Anzahl der Kanten: ${\displaystyle 2n}$
4. Volumen: ${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}Gh}$
5. Der Schwerpunkt ${\displaystyle C'}$ der Pyramide teilt die Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Grundfläche ${\displaystyle C}$ und der Spitze ${\displaystyle S}$ im Verhältnis ${\displaystyle 1:3}$.

Im Fall ${\displaystyle n=3}$ nennt man die Pyramide Tetraeder.

Gerade quadratische Pyramide: Bezeichnungen

Es sei ${\displaystyle a}$ die Quadratlänge und ${\displaystyle h}$ die Höhe der Pyramide.

${\displaystyle n=4,\ G=a^{2}}$

Höhe der Dreiecke: ${\displaystyle h'={\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}}$

Dreiecksfläche: ${\displaystyle {\frac {a}{2}}{\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}}$

Länge der Kanten durch die Spitze: ${\displaystyle l={\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}}$

Volumen: ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}a^{2}h}$

Oberfläche: ${\displaystyle O=a^{2}+a\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+a^{2}}}}$

Höhe des Schwerpunkts ${\displaystyle C'}$ über dem Mittelpunkt der Grundfläche ${\displaystyle C}$: ${\displaystyle s={\frac {h}{4}}}$

Weitere Eigenschaften enthält der Abschnitt Formeln für regelmäßige Pyramiden.

Links: Johnson-Körper
Rechts: Pyramide mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberfläche

Eine quadratische Pyramide, deren vier dreieckige Seitenflächen gleichseitig sind, ist der einfachste Johnson-Körper, abgekürzt mit ${\displaystyle J_{1}}$. In diesem Fall gilt ${\displaystyle h={\frac {a}{2}}\cdot {\sqrt {2}}}$ und die Pyramide ist ein halbes reguläres Oktaeder. Verdoppelt man die Höhe, erhält man die Pyramide mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberfläche.

Unter allen quadratischen Pyramiden mit vorgegebener Oberfläche ${\displaystyle O}$ hat diejenige das größte Volumen, für die

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle a = \frac{\sqrt{O}}{2},\quad h = \sqrt{\frac{O}{2}}\quad} und damit ${\displaystyle \quad h=a\cdot {\sqrt {2}}}$

gilt. Ihr Volumen ist dann ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot a^{3}\cdot {\sqrt {2}}={\frac {O{\sqrt {O}}}{12{\sqrt {2}}}}}$.

Zum Nachweis löse man ${\displaystyle \;O=a^{2}+a{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}\;}$ nach ${\displaystyle h^{2}}$ auf, setze es in ${\displaystyle U=9V^{2}=a^{4}h^{2}}$ ein und bestimme das lokale Maximum von ${\displaystyle U(a)}$.

Die Tabelle enthält Formeln für geometrische Eigenschaften einer allgemeinen regelmäßigen gerade Pyramide (2. Spalte). In der 3. und 4. Spalte speziell für die Fälle ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle n=3}$.

Regelmäßige gerade Pyramiden: Bezeichnungen für die Formeltabelle

Größen einer regelmäßigen Pyramide mit der Höhe h und einem regelmäßigen n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche
	Allgemeiner Fall	Quadratische Pyramide	Regelmäßige Dreieckspyramide
Volumen	${\displaystyle V={\frac {na^{2}h}{12}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle V={\frac {a^{2}h}{3}}}$	${\displaystyle V={\frac {a^{2}h}{12}}{\sqrt {3}}}$
Oberfläche	${\displaystyle O={\frac {na}{4}}\left(a\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+{\sqrt {4h^{2}+a^{2}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)}$	${\displaystyle O=a^{2}+a{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle O={\frac {3a}{4}}\left({\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {4h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}\right)}$
Seitenkantenlänge	${\displaystyle l=\left(h^{2}+{\frac {a^{2}}{4\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)^{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle l={\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}}$	${\displaystyle l={\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}}$
Umkugelradius	${\displaystyle r_{u}={\frac {h}{2}}+{\frac {a^{2}}{8h\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}={\frac {h}{2}}+{\frac {a^{2}}{4h}}}$	${\displaystyle r_{u}={\frac {h}{2}}+{\frac {a^{2}}{6h}}}$
Inkugelradius	${\displaystyle r_{i}={\frac {ah}{a+{\sqrt {4h^{2}\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+a^{2}}}}}}$	${\displaystyle r_{i}={\frac {ah}{a+{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}}}}$	${\displaystyle r_{i}={\frac {ah}{a+{\sqrt {12h^{2}+a^{2}}}}}}$
Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke ${\displaystyle \alpha _{2}=\alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{1}=\arctan \left({\frac {1}{a}}{\sqrt {4h^{2}+a^{2}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)}$	${\displaystyle \alpha _{1}=\arctan \left({\frac {1}{a}}{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}\right)}$	${\displaystyle \alpha _{1}=\arctan \left({\frac {1}{a}}{\sqrt {4h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}\right)}$
Winkel an der Spitze der gleichschenkligen Dreiecke	${\displaystyle \alpha _{3}=2\arctan \left({\frac {a}{\sqrt {4h^{2}+a^{2}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}\right)}$	${\displaystyle \alpha _{3}=2\arctan \left({\frac {a}{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}}\right)}$	${\displaystyle \alpha _{3}=2\arctan \left({\frac {a}{\sqrt {4h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}}\right)}$
Winkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Dreiecken	${\displaystyle \beta _{1}=\arctan \left({\frac {2h\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{a}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{1}=\arctan \left({\frac {2h}{a}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{1}=\arctan \left({\frac {2{\sqrt {3}}h}{a}}\right)}$
Winkel zwischen den gleichschenkligen Dreiecken	${\displaystyle \beta _{2}=2\arctan \left({\frac {1}{2h}}\left({\frac {4h^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+a^{2}}{\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)^{\frac {1}{2}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{2}=2\arctan \left({\frac {1}{2h}}{\sqrt {4h^{2}+2a^{2}}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{2}=2\arctan \left({\frac {1}{3h}}{\sqrt {3h^{2}+a^{2}}}\right)}$
Winkel zwischen Seitenkante und Grundfläche	${\displaystyle \gamma =\arctan \left({\frac {2h\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{a}}\right)}$	${\displaystyle \gamma =\arctan \left({\frac {2h}{{\sqrt {2}}a}}\right)}$	${\displaystyle \gamma =\arctan \left({\frac {{\sqrt {3}}h}{a}}\right)}$
Raumwinkel an der Grundfläche	${\displaystyle \Omega _{1}=4\arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {2\beta _{1}+\beta _{2}}{4}}\right)\tan \left({\frac {2\beta _{1}-\beta _{2}}{4}}\right)\tan ^{2}\left({\frac {\beta _{2}}{4}}\right)}}\right)}$
Raumwinkel in der Spitze	${\displaystyle \Omega _{2}=2\pi -2n\arcsin \left(\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\tan ^{2}\left({\frac {\alpha _{3}}{2}}\right)}}\right)}$

Pyramide als Teil eines Ikosaeders

Für bestimmte Werte von ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle h}$ ergeben sich Zusammenhänge mit platonischen Körpern:

• Für ${\displaystyle n=3}$ und ${\displaystyle h={\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}}$ ergibt sich das regelmäßige Tetraeder.
• Für ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle h={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}}$ ergibt sich eine quadratische Pyramide, die ein halbes reguläres Oktaeder ist.
• Für ${\displaystyle n=5}$ und ${\displaystyle h={\frac {a}{10}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}}$ ergibt sich eine regelmäßige fünfseitige Pyramide, die ein Teil des Ikosaeders ist.

Pyramiden mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberfläche ${\displaystyle O}$,
rot: Kegel mit derselben Eigenschaft und derselben Oberfläche
${\displaystyle V_{\text{Pyram}}/V_{\text{Kegel}}}$:
${\displaystyle n=3:\;0{,}78\quad n=4:\;0{,}89}$
${\displaystyle n=6:\;0{,}95\quad n=10:\;0{,}98}$

Mit Überlegungen wie für eine gerade quadratische Pyramide (siehe oben) zeigt man:

Unter allen geraden regulären n-seitigen Pyramiden mit vorgegebener Oberfläche ${\displaystyle O}$ hat diejenige das größte Volumen, für die

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {O}{n\cot {\frac {\pi }{n}}}}},}$

${\displaystyle h={\sqrt {2\;O}}\;{\sqrt {\frac {\cot {\frac {\pi }{n}}}{n}}}={\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\cdot {\sqrt {{\tfrac {\pi }{n}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}}}}$

und damit ${\displaystyle \ h=a{\sqrt {2}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}\ }$ gilt.

Der Umkreisradius des Basispolygons ist

${\displaystyle \ r_{u}={\frac {a}{2\sin {\tfrac {\pi }{n}}}}={\sqrt {\tfrac {O}{4\pi }}}\cdot {\sqrt {\frac {\tfrac {2\pi }{n}}{\sin {\frac {2\pi }{n}}}}}\ }$.

Das maximale Volumen ist ${\displaystyle V={\tfrac {O}{12}}{\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\cdot {\sqrt {{\tfrac {\pi }{n}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}}}\ }$.

Für ${\displaystyle n}$ gegen unendlich geht ${\displaystyle a}$ monoton fallend gegen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle h}$ monoton steigend gegen ${\displaystyle h_{k}={\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}}$. Letzteres ist die Höhe eines Kegels mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberfläche ${\displaystyle O}$. (Bei der Grenzwertbildung wird ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}=1}$ verwendet.)
Der Radius des Basiskreises des optimalen Kegels ist ${\displaystyle \ r_{k}={\sqrt {\tfrac {O}{4\pi }}}}$,
seine Höhe ${\displaystyle \ h_{k}=2{\sqrt {2}}\;r_{k}={\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\ }$ und
sein Volumen ${\displaystyle \ V_{k}={\tfrac {O}{12}}{\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\ }$.

Für das Verhältnis der Volumina gilt:

${\displaystyle {\frac {V_{\text{Pyram}}}{V_{\text{Kegel}}}}={\sqrt {{\frac {\pi }{n}}\cot {\frac {\pi }{n}}}}}$,

das für ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen 1 strebt.

Pyramide zur Approximation eines Kegels

Regelmäßige Pyramiden, die ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche haben, können verwendet werden, um einen Kreiskegel zu approximieren, der nach Definition einen Kreis als Grundfläche hat.

Wenn das regelmäßige Vieleck ${\displaystyle n}$ Ecken hat, also ein ${\displaystyle n}$-Eck ist, kann formal der Grenzwert für unendlich großes ${\displaystyle n}$ gebildet werden. Der Kreiskegel kann sozusagen als regelmäßige Pyramide aufgefasst werden, wobei die Grundfläche unendlich viele Ecken und die Seitenlänge des ${\displaystyle n}$-Ecks den Grenzwert 0 hat.

Im Folgenden soll auf diese Weise das Volumen des Kreiskegels hergeleitet werden.

Mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks (siehe Regelmäßiges Polygon – Umfang und Flächeninhalt) ergibt sich für das Volumen ${\displaystyle V}$ der regelmäßigen Pyramide, wenn der Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$ des ${\displaystyle n}$-Ecks bekannt ist:

${\displaystyle V={\frac {Gh}{3}}=n{\frac {r_{u}^{2}}{2}}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right){\frac {h}{3}}={\frac {nr_{u}^{2}h}{6}}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

Um das Volumen des Kreiskegels zu bestimmen, kann der Grenzwert für ${\displaystyle n}$ gegen unendlich gebildet werden. Dieser Grenzwert ergibt sich mit Hilfe der Formel ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}=1}$:

${\displaystyle V_{\text{Kreiskegel}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {Gh}{3}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n\,r_{u}^{2}\,h}{6}}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle \qquad \qquad ={\frac {r_{u}^{2}\,h}{6}}2\pi \cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}{\frac {2\pi }{n}}}={\frac {r_{u}^{2}\,h}{6}}2\pi \cdot 1={\frac {1}{3}}\pi r_{u}^{2}\cdot h}$

Eine von den Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ aufgespannte dreiseitige Pyramide hat das Volumen

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\cdot \left|\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {c}}\right|.}$

Die erwähnte Volumenformel lässt sich elementargeometrisch in zwei Schritten begründen:

1. Ein Würfel kann in drei gleiche Pyramiden mit quadratischer Grundfläche zerlegt werden, deren Spitzen in einer Ecke des Würfels zusammenfallen. Die drei Grundflächen sind die drei Seitenflächen des Würfels, die diese gemeinsame Spitze nicht enthalten.
2. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe stimmen im Volumen überein.

Zum Beweis dieser Aussage kann man das Prinzip von Cavalieri und die Gesetze der zentrischen Streckung heranziehen.

Für Pyramiden gilt demzufolge die Volumenformel

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot G\cdot h.}$

Der Rauminhalt einer Pyramide mit der Grundfläche ${\displaystyle G}$ und der Höhe ${\displaystyle h}$ kann berechnet werden, wenn man sich die Pyramide aus dünnen (infinitesimalen) Schichten der Dicke ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ parallel zur Grundfläche aufgebaut vorstellt. Eine ${\displaystyle y}$-Achse lege man nun durch die Spitze der Pyramide, sodass die Höhe ${\displaystyle h}$ mit der ${\displaystyle y}$-Achse zusammenfällt. Bezeichnet man die Fläche der Schicht im Abstand ${\displaystyle y}$ von der Spitze mit ${\displaystyle A(y)}$, so kann man aus den Gesetzen der zentrischen Streckung eine Formel für ${\displaystyle A(y)}$ herleiten:

${\displaystyle A(y):G=y^{2}:h^{2}}$

${\displaystyle A(y)={\frac {G}{h^{2}}}y^{2}}$

Daraus ergibt sich das Volumen der Pyramide durch Integration von ${\displaystyle y=0}$ bis ${\displaystyle y=h}$ nach dem Prinzip von Cavalieri:

${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{h}{\frac {G}{h^{2}}}y^{2}\,\mathrm {d} y={\frac {G}{h^{2}}}\int _{0}^{h}y^{2}\,\mathrm {d} y={\frac {G}{h^{2}}}\cdot {\frac {1}{3}}\left[y^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {G}{h^{2}}}\cdot {\frac {1}{3}}\left[h^{3}-0\right]={\frac {1}{3}}G\cdot h}$