Druckstoß

Wird ein Fluid in einer Rohrleitung durch ein Ventil abgebremst, so wird stromaufwärts des Ventils Bewegungsenergie ${\displaystyle W}$ frei:

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

mit

• der Flüssigkeitsmasse m
• der Geschwindigkeit v.

Dieser Energiebetrag wird in Volumenänderungsarbeit umgewandelt:[5]

${\displaystyle W_{\mathrm {1,2} }=-\!\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}\!p\,dV}$

mit

• dem Anfangsvolumen V1
• dem Endvolumen V2
• der Druckänderung p dV.

Das Fluid wird also komprimiert. Da beispielsweise Wasser aufgrund seines hohen Kompressionsmoduls nahezu inkompressibel ist, entstehen bei der Verrichtung der Volumenänderungsarbeit hohe Drücke.

Dieser Zusammenhang steht analog zum Bremsweg eines Autos: je kürzer der Bremsweg, desto höheren Kräften sind die Fahrzeuginsassen ausgesetzt.

Da wasserführende Leitungen beim Betreiben einer Anlage teilweise sehr schnell geschlossen werden müssen (z. B. bei einem Lastabwurf), sind die entstehenden Druckstöße dementsprechend hoch.

Trotz moderner Simulationsprogramme und langer Erfahrung mit Druckstößen sind auch heute immer wieder Schäden an Rohrleitungen zu beobachten.

Einer der spektakulärsten Unfälle der letzten Jahre ereignete sich 1998 in New York City, als eine Hauptwasserleitung mit 48 Zoll Durchmesser brach und die Fifth Avenue überflutete.[6]

Auch in Hamburg kam es am Samstag, dem 4. Juli 2009, zu mehreren Druckstoßschäden. Nach einem Spannungseinbruch in der Stromversorgung aufgrund einer Havarie eines Transformators im Kernkraftwerk Krümmel und darauf erfolgter Reaktorschnellabschaltung als vorbeugender Sicherheitsmaßnahme, fielen im gesamten Hamburger Stadtgebiet abrupt Pumpen in 14 Wasserwerken aus. Dies verursachte unzulässig hohe Druckstöße. Als der Druck beim Anfahren der Pumpen wieder stieg, kam es zum Bruch der zuvor geschädigten Leitungen. Als Folge kam es zwischen 17.20 Uhr am Samstag und 18.45 Uhr am Sonntag zu insgesamt 16 Wasserrohrbrüchen.[7] Personenschäden entstanden weder im Kernkraftwerk Krümmel noch bei der Hamburger Wasserversorgung.

Ein Erklärmodell des Unfalls am Wasserkraftwerk Sajano-Schuschenskaja am 17. August 2009, bei dem 75 Tote zu beklagen waren und mehrere Turbinen-Generatoren-Gruppen zerstört wurden, war ein Kavitationsschlag nach dem Abreißen der Wassersäule im Saugrohr als Folge des zu schnellen Schließen der Leitschaufeln der Francis-Turbinen nach einem Lastabwurf.[8]

Beim Schließen einer Armatur bewegt sich stromabwärts das Fluid von der Armatur weg. Die Druckänderung wird deshalb negativ. Unterschreitet der Druck den Dampfdruck des Fluids, so bildet sich eine Dampfblase. Durch den dann vorherrschenden Unterdruck wird das Fluid in Gegenrichtung beschleunigt und trifft auf das geschlossene Ventil. Es entsteht ein Kavitationsschlag, der dieselben Auswirkungen wie ein Druckstoß hat. Dieses Abreißen der Wassersäule wird auch als Makrokavitation bezeichnet.

Der Druckstoß wurde von Joukowsky im Jahre 1898 erkannt und von Allievi im Jahre 1905 theoretisch hergeleitet:[9]

${\displaystyle \Delta p=\rho \cdot c\cdot \Delta v}$

mit

• der Druckänderung ${\displaystyle \Delta p}$ in N/m²
• der Dichte ${\displaystyle \rho }$ in kg/m³
• der Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ in m/s; sie beträgt bei Fluiden

${\displaystyle c_{\text{Fluid}}={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}}$  mit

• dem (adiabatischen) Kompressionsmodul ${\displaystyle K}$
• der Dichte ${\displaystyle \rho }$
• der Geschwindigkeitsänderung ${\displaystyle \Delta v}$ in m/s.

Diese Beziehung gilt nur für Rohrleitungen, bei denen

• die Wandreibung in Bereichen des Wassertransportes oder darunter liegt,
• die Geschwindigkeitsänderung unter der Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit liegt (${\displaystyle \Delta v<c}$) und
• der Zeitraum ${\displaystyle T_{s}}$ der Geschwindigkeitsänderung kleiner als die Reflexionszeit ${\displaystyle T_{r}}$ ist (${\displaystyle T_{s}\leq T_{r}}$).

Für Wasser ${\displaystyle \left(\rho =1000\,\mathrm {\frac {kg}{m^{3}}} ,\,c=1484\,\mathrm {\frac {m}{s}} \right)}$ liefert eine typische Geschwindigkeitsänderung ${\displaystyle \Delta v=10\,\mathrm {m/s} }$ einen Joukowsky-Stoß

${\displaystyle \Rightarrow \Delta p\approx 14{,}8\,\mathrm {MPa} }$.

Prinzip der Wellenreflexion

Wenn die Schließzeit des Absperrorganes (oder die Nachlaufzeit der Pumpe) beachtet werden, ergeben sich weniger konservative Werte als die o. g. technisch maximal mögliche Druckerhöhung:[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=c\cdot \rho \cdot \Delta v\cdot {\frac {T_{r}}{T_{s}}}\\&\leq \Delta p_{\text{Joukowsky}}\end{aligned}}}$  mit  ${\displaystyle T_{r}\leq T_{s}\Leftrightarrow {\frac {T_{r}}{T_{s}}}\leq 1}$  mit

• der Reflexionszeit ${\displaystyle \ T_{r}={\tfrac {2\cdot L}{c}}}$,
• der Länge ${\displaystyle L}$ der Rohrleitung und
• der Schließzeit ${\displaystyle T_{s}}$ der Armatur.

Die Reflexionszeit ist die Zeit, die nötig ist, um die Druckänderung von der Armatur bis zum Leitungsende und wieder zur Armatur weiterzugeben. Bei dieser Abschätzung des Druckstoßes fällt die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit nicht mehr ins Gewicht. Zu einer genaueren Abschätzung können Ventilkennlinien mit einbezogen werden. Im Detail kann man dann die Rekursionsformel nach Allievi (ohne Rohrreibung) anwenden, um die Druckerhöhung aufgrund des Ventilschließvorganges zu berechnen.

Der oben berechnete Joukowsky-Druckstoß unter Verwendung der Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit des Strömungsmediums stellt die ideale, physikalisch maximal mögliche Druckerhöhung bei einer unendlich steifen Rohrleitung dar. Um realere Werte zu erreichen, wird die Elastizität der Rohrwand bei der Berechnung berücksichtigt, was die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit und damit die Druckerhöhung reduziert.

Für c in m/s gilt:[4]

${\displaystyle c={\frac {c_{\text{Fluid}}}{\sqrt {1+{\frac {K_{f}\cdot d_{i}\cdot (1-\mu ^{2})}{E_{R}\cdot s}}}}}}$

mit

• ${\displaystyle K_{f}}$ = Kompressionsmodul des Fluids in N/m²
• ${\displaystyle d_{i}}$ = Innendurchmesser des Rohrs in m
• ${\displaystyle \mu }$ = Querkontraktionszahl des Rohrmaterials
• ${\displaystyle E_{R}}$ = Elastizitätsmodul der Rohrwand in N/m²
• ${\displaystyle s}$ = Rohrwanddicke in m.

Beim dünnwandigen Rohr vereinfacht sich die Gleichung der Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit zu:

${\displaystyle c={\frac {c_{\text{Fluid}}}{\sqrt {1+{\frac {K_{f}\cdot d_{i}}{E_{R}\cdot s}}}}}}$

Bei in Fels geschlagenen Stollen ist die Wanddicke unbestimmt extrem groß, somit gilt für diese Anwendung:

${\displaystyle c={\frac {c_{\text{Fluid}}}{\sqrt {1+{\frac {2\,K_{\!f}}{E_{\mathrm {W\ \!\!and} }}}}}}}$

mit

• ${\displaystyle E_{\mathrm {W\ \!\!and} }}$ = Elastizitätsmodul des Felses in N/m².[11]

In einer fließenden Rohrleitungs-Strömung kommt es aufgrund von Reibungsdruckverlusten (Wandreibung und Dissipation) zu einer Druckreduzierung. Bei einem Stillstand der Strömung infolge eines Ventilschließvorganges fällt dies schlagartig fort, was zu einem zusätzlichen Druckanstieg führt, der zum Joukowsky-Stoß zu addieren ist.

Die Joukowsky-Gleichung stellt u. a. deshalb nur eine ungenaue Näherung dar, der real entstehende Druckstoß kann noch höhere Drücke erreichen (z. B. in Pipelines). Deshalb müssen Druckstöße evtl. numerisch simuliert werden.