Pughs Schließungslemma

Sei ${\displaystyle f\colon M\to M}$ ein ${\displaystyle C^{\infty }}$-Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle p\in M}$ ein nichtwandernder Punkt von ${\displaystyle f}$.

Eines der Smaleschen Probleme fragt, ob es in der ${\displaystyle C^{\infty }}$-Topologie beliebig nahe zu ${\displaystyle f}$ liegende ${\displaystyle C^{\infty }}$-Diffeomorphismen ${\displaystyle g\colon M\to M}$ gibt, für die ${\displaystyle p}$ ein periodischer Punkt ist.

Es soll also zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ einen ${\displaystyle C^{\infty }}$-Diffeomorphismus ${\displaystyle g\colon M\to M}$ geben, so dass

${\displaystyle d(f(x),g(x))<\epsilon }$ und ${\displaystyle \parallel D_{x}^{k}f-D_{x}^{k}g\parallel <\epsilon \ \forall k\in \mathbb {N} \ \forall x\in M}$

(für eine beliebig gewählte Riemannsche Metrik) sowie ${\displaystyle g^{n}(p)=p}$ für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist.

Diese Frage ist ein offenes Problem. Bewiesen ist nur das folgende Schließungslemma von Pugh, welches lediglich die Approximierbarkeit in der ${\displaystyle C^{1}}$-Topologie garantiert.

Sei ${\displaystyle f\colon M\to M}$ ein ${\displaystyle C^{1}}$-Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle p\in M}$ ein nichtwandernder Punkt von ${\displaystyle f}$.

Das Schließungslemma von Pugh besagt, dass es in der ${\displaystyle C^{1}}$-Topologie beliebig nahe zu ${\displaystyle f}$ liegende ${\displaystyle C^{1}}$-Diffeomorphismen ${\displaystyle g\colon M\to M}$ gibt, für die ${\displaystyle p}$ ein periodischer Punkt ist.

Es gibt also zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ einen ${\displaystyle C^{1}}$-Diffeomorphismus ${\displaystyle g\colon M\to M}$, so dass

${\displaystyle d(f(x),g(x))<\epsilon }$ und ${\displaystyle \parallel D_{x}f-D_{x}g\parallel <\epsilon \ \forall x\in M}$

(für eine beliebig gewählte Riemannsche Metrik) sowie ${\displaystyle g^{n}(p)=p}$ für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist.

• Anosovs Schließungslemma

• Christian Bonatti, Pugh closing lemma, Scholarpedia

• Pugh, Charles C. (1967). "An Improved Closing Lemma and a General Density Theorem". American Journal of Mathematics 89 (4): 1010–1021.
• Smale, Steve (1998). "Mathematical Problems for the Next Century". Mathematical Intelligencer 20 (2): 7–15.

1. Smale, Mathematical problems for the next century, Mathematical Intelligencer, 1998, Nr. 2. Nach Smale bezeichnete Thom dies als seinen größten Irrtum.