Symplektische Gruppe

Für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und jeden Körper ${\displaystyle K}$ mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe ${\displaystyle Sp_{2n}(K)}$ eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,K)}$

${\displaystyle Sp_{2n}(K)\colon =\left\{T\in GL_{2n}(K)\mid \,T^{\text{T}}\,I_{n}\,T=I_{n}\right\}}$

mit

${\displaystyle I_{n}={\begin{pmatrix}0&E_{n}\\-E_{n}&0\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle E_{n}}$ die ${\displaystyle n\times n}$-Einheitsmatrix und ${\displaystyle 0}$ die ${\displaystyle n\times n}$-Nullmatrix bezeichnet.

Für ${\displaystyle K\in \left\{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \right\}}$ ist ${\displaystyle Sp(n,K)}$ eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,K)}$ ist

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,K)=\left\{A\in \mathrm {Mat} (2n,K):I_{n}A+A^{T}I_{n}=0\right\}}$.

Ist der Körper ${\displaystyle K}$ endlich mit ${\displaystyle q}$ Elementen, so schreibt man ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,q)}$ an Stelle von ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,K)}$. Man erhält eine endliche Gruppe mit

${\displaystyle \mathrm {ord} (Sp(2n,q))=q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}(q^{2i}-1)}$

Elementen. Das Zentrum dieser Gruppe besteht aus ${\displaystyle \pm \mathrm {id} _{K^{n}}}$, es hat daher zwei Elemente für ungerades ${\displaystyle q}$ und ist trivial für gerades ${\displaystyle q}$.

Die Faktorgruppen der symplektischen Gruppen nach ihrem Zentrum heißen projektive symplektische Gruppen und werden mit ${\displaystyle PSp(2n,K)}$ bezeichnet. Im Falle eines endlichen Körpers mit ${\displaystyle q}$ Elementen ist

${\displaystyle \mathrm {ord} (PSp(2n,q))={\frac {q^{n^{2}}}{\mathrm {ggT} (2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}(q^{2i}-1)}$

und die Gruppen sind einfach mit Ausnahme von ${\displaystyle PSp(2,2),PSp(2,3)}$ und ${\displaystyle PSp(4,2)}$.[3] Man erhält damit eine unendliche Serie einfacher Gruppen. Es handelt sich dabei um Gruppen vom Lie-Typ C_n und damit um eine der insgesamt 16 unendlichen Serien von Gruppen vom Lie-Typ. Daher wird ${\displaystyle PSp(2n,q)}$ auch mit ${\displaystyle C_{n}(q)}$ bezeichnet.

Die kompakte symplektische Gruppe ${\displaystyle Sp(n)}$ ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ definierte Skalarprodukt

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}}$

erhalten.

Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes. ${\displaystyle Sp(n)}$ ist aber die kompakte reelle Form von ${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$.

${\displaystyle Sp(n)}$ ist eine ${\displaystyle n(2n+1)}$-dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra ist

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(n)=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {H} ):A+A^{\dagger }=0\right\}}$,

wobei ${\displaystyle A^{\dagger }}$ die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.

Es gilt ${\displaystyle Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )}$.

Obwohl auch endliche Mengen kompakt sind, sind mit kompakten symplektischen Gruppen meistens die hier angegebenen Lie-Gruppen gemeint.

• Vladimir L. Popov: Symplectic group. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

1. Hermann Weyl: The Classical Groups, Princeton 1939, Fußnote S. 165
2. Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache, Bd. 2, S. 1000, Vieweg&Sohn, Braunschweig, 1914.
3. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type, John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Kapitel 1.3: The Symplectic Groups

• Eric W. Weisstein: Symplectic Group. In: MathWorld (englisch).