Projektive Mannigfaltigkeit

Der projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ist der Raum der 1-dimensionalen Untervektorräume des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. Die projektive lineare Gruppe ${\displaystyle PGL(n+1,\mathbb {R} )}$ wirkt als Gruppe der invertierbaren projektiven Abbildungen auf ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$.

Eine projektive Struktur auf einer Mannigfaltigkeit ist ein Atlas mit Karten-Abbildungen in den projektiven Raum und projektiven Abbildungen als Kartenübergängen.

Genauer: Die n-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ hat eine offene Überdeckung ${\displaystyle M=\cup _{i\in I}U_{i}}$ mit Homöomorphismen

${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\rightarrow V_{i}\subset \mathbb {R} P^{n}}$,

so dass für alle ${\displaystyle i,j\in I}$

${\displaystyle \phi _{i}\phi _{j}^{-1}:\phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})\rightarrow \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})}$

die Einschränkung einer Abbildung aus ${\displaystyle PGL(n+1,\mathbb {R} )}$ ist.

Analog kann man komplex projektive Mannigfaltigkeiten definieren, hier gehen die Kartenabbildungen in den komplex-projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ und die Kartenübergänge sind Einschränkungen von Abbildungen in ${\displaystyle PGL(n+1,\mathbb {C} )}$.

Eine projektive Mannigfaltigkeit heißt konvex projektiv, wenn sie von der Form ${\displaystyle M=\Gamma \backslash \Omega }$ für eine konvexe Teilmenge ${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} P^{n}}$ und eine diskrete Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset PGL(n+1,\mathbb {R} )}$ ist.

Satz: Sei ${\displaystyle M}$ eine 3-Mannigfaltigkeit mit einer der 8 Thurston-Geometrien. Dann ist ${\displaystyle M}$ entweder eine nicht-orientierbare Seifert-Faserung (und es gibt eine 2-fache Überlagerung mit einer reell projektiven Struktur) oder die Mannigfaltigkeit besitzt eine eindeutige, der Thurston-Geometrie zugrundeliegende, reell projektive Struktur.

Dieser Satz folgt aus der Darstellbarkeit der Thurston-Geometrien ${\displaystyle (X,G)}$ in ${\displaystyle (\mathbb {R} P^{3},PGL(4,\mathbb {R} ))}$ mit der Ausnahme, dass im Fall der Produkt-Geometrien ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle H^{2}\times \mathbb {R} }$ die Gruppe ${\displaystyle G=Isom(X)}$ durch die Gruppe ${\displaystyle Isom^{+}(X)}$ der orientierungserhaltenden Isometrien ersetzt werden muss, die eine Untergruppe vom Index 2 ist.

Im Fall nicht-orientierbarer Seifert-Faserungen gibt es reell projektive Strukturen, die nicht von einer projektiven Darstellung ihrer Thurston-Geometrie kommen (Guichard-Wienhard). Es gibt reell projektive Strukturen auch auf nicht-geometrischen 3-Mannigfaltigkeiten (Benoist), andererseits kann die zusammenhängende Summe ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}\sharp \mathbb {R} P^{3}}$ keine reell projektive Struktur haben (Cooper-Goldman).

• Choi, Suhyoung; Goldman, William M.: The classification of real projective structures on compact surfaces. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 34 (1997), no. 2, 161–171.
• Cooper, Daryl; Goldman, William M.: A 3-manifold with no real projective structure. http://arxiv.org/abs/1207.2007
• Goldman, William M. What is… a projective structure? Notices Amer. Math. Soc. 54 (2007), no. 1, 30–33. pdf

• Sam Ballas: Flexibility and rigidity of 3-dimensional convex projective structures

1. Choi, Suhyoung; Goldman, William M. Convex real projective structures on closed surfaces are closed. Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), no. 2, 657–661.
2. Kamishima, Yoshinobu; Tan, Ser P. Deformation spaces on geometric structures. Aspects of low-dimensional manifolds, 263–299, Adv. Stud. Pure Math., 20, Kinokuniya, Tokyo, 1992.