Projektive Abbildung

Der projektive Raum ${\displaystyle P(V)}$ zu einem ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle V}$ ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt in ${\displaystyle V}$, das heißt der Quotientenraum ${\displaystyle V\setminus \{0\}/\sim }$ bezüglich der Äquivalenzrelation ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}\colon x=\lambda y}$.
Seien nun ${\displaystyle V_{1}}$ und ${\displaystyle V_{2}}$ Vektorräume und ${\displaystyle P(V_{1})}$ und ${\displaystyle P(V_{2})}$ die zugehörigen projektiven Räume, dann heißt eine Abbildung

${\displaystyle \pi \colon P(V_{1})\longrightarrow P(V_{2})}$

projektiv oder projektiv-linear, wenn es eine injektive lineare Abbildung

${\displaystyle {\tilde {\pi }}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}}$

mit

${\displaystyle \pi (\langle x\rangle )=\langle {\tilde {\pi }}(x)\rangle }$ für alle ${\displaystyle \langle x\rangle \in P(V_{1})}$

gibt.

Bei einzelnen Autoren findet man auch folgende (nicht äquivalente) Definition:
Seien ${\displaystyle P(V_{1})}$ und ${\displaystyle P(V_{2})}$ projektive Räume und ${\displaystyle Z}$ ein projektiver Unterraum von ${\displaystyle P(V_{1})}$, dann heißt eine Abbildung

${\displaystyle \pi \colon P(V_{1})\setminus Z\longrightarrow P(V_{2})}$

projektiv, wenn es eine lineare Abbildung

${\displaystyle {\tilde {\pi }}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}}$

mit

${\displaystyle \pi (\langle x\rangle )=\langle {\tilde {\pi }}(x)\rangle }$ für alle ${\displaystyle \langle x\rangle \in P(V_{1})\setminus Z}$

und ${\displaystyle P(\operatorname {Kern} ({\tilde {\pi }}))=Z}$ gibt. Der Unterraum ${\displaystyle Z}$ wird als der Ausnahmeraum bezeichnet.

Dieser Artikel bezieht sich im Folgenden auf die erste Definition.

Die invertierbaren projektiven Abbildungen eines projektiven Raumes ${\displaystyle P(V)}$ auf sich bilden eine Gruppe, die als projektive lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ bezeichnet wird. Die Elemente dieser Gruppe sind insbesondere geradentreu, also Kollineationen.

Die projektive lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ über einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ ist die Faktorgruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)/K^{\times }}$, wobei ${\displaystyle K^{\times }}$ die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen ${\displaystyle k\cdot \mathrm {id} _{V}}$ der Identität ${\displaystyle \mathrm {id} :V\rightarrow V}$ ist mit ${\displaystyle k}$ aus ${\displaystyle K\setminus \{0\}}$. Die Bezeichnungen ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)}$ usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn ${\displaystyle K}$ ein endlicher Körper ist, sind ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)}$ und ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,K)}$ gleichmächtig, aber im Allgemeinen nicht isomorph.

Projektive Abbildungen erhalten die Inzidenzstruktur.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum über ${\displaystyle K}$ gehört dabei die Gruppe ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n+1,K)}$, sie ist die Gruppe aller Projektivitäten des Raumes.

Projektive Abbildungen bilden projektive Teilräume auf projektive Teilräume ab.

Projektive Abbildungen erhalten das Doppelverhältnis von 4-Tupeln kollinearer Punkte. Diese Eigenschaft kann als kennzeichnendes Merkmal der projektiven Geometrie angesehen werden. Siehe dazu: Erlanger Programm. Diese Zusammenhänge waren schon im Altertum bekannt und finden sich z. B. bei Pappos. Sie sind der entscheidende Grund dafür, dass der Begriff Doppelverhältnis überhaupt entwickelt wurde.

• Projektivität
• Kollineation

• Heiner Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, 1997, ISBN 978-3-519-02230-5.