Prochorow-Metrik

Sei ${\displaystyle (E,d)}$ ein metrischer Raum, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ die Borelsche σ-Algebra auf ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}^{+}(E,{\mathcal {B}})}$ die Menge der endlichen Maße auf dem Messraum ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}})}$. Des Weiteren bezeichne

${\displaystyle B_{\epsilon }:=\{x\in E\,|\,d(x,B)<\epsilon \}}$

die ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung der Menge ${\displaystyle B}$. Definiert man für zwei ${\displaystyle \mu ,\nu \in {\mathcal {M}}_{f}^{+}(E,{\mathcal {B}})}$

${\displaystyle d^{*}(\mu ,\nu ):=\inf\{\epsilon >0\,|\,\forall B\in {\mathcal {B}}:\;\mu (B)\leq \nu (B_{\epsilon })+\epsilon \}}$,

dann heißt

${\displaystyle d_{P}(\mu ,\nu ):=\max\{d^{*}(\mu ,\nu ),d^{*}(\nu ,\mu )\}}$

die Prochorow-Metrik auf der Menge der endlichen Maße ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}^{+}(E,{\mathcal {B}})}$.

Die Prochorow-Metrik macht ${\displaystyle ({\mathcal {M}}_{f}^{+}(E,{\mathcal {B}}),d_{P})}$ zu einem metrischen Raum. Die Eigenschaften dieses Raumes hängen wesentlich von den Eigenschaften von ${\displaystyle (E,d)}$ ab. Beispielsweise ist

• ${\displaystyle (E,d)}$ genau dann ein separabler metrischer Raum, wenn ${\displaystyle ({\mathcal {M}}_{f}^{+}(E,{\mathcal {B}}),d_{P})}$ ein separabler Raum ist.
• ${\displaystyle (E,d)}$ genau dann ein polnischer Raum, wenn ${\displaystyle ({\mathcal {M}}_{f}^{+}(E,{\mathcal {B}}),d_{P})}$ ein polnischer Raum ist

Außerdem impliziert die Konvergenz bezüglich der Prochorow-Metrik die schwache Konvergenz von Maßen. Ist ${\displaystyle (E,d)}$ ein separabler metrischer Raum, so gilt auch die Umkehrung. Dann sind Konvergenz bezüglich der Prochorow-Metrik und schwache Konvergenz von Maßen äquivalent. Die Prochorow-Metrik metrisiert dann also die Topologie der schwachen Konvergenz auf ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}^{+}(E,{\mathcal {B}})}$.

Sind ${\displaystyle \mu ,\nu }$ Wahrscheinlichkeitsmaße und ist ${\displaystyle E}$ ein separabler metrischer Raum, so ist ${\displaystyle d^{*}(\mu ,\nu )=d^{*}(\nu ,\mu )}$ und damit gilt

${\displaystyle d_{P}(\mu ,\nu )=d^{*}(\mu ,\nu )=d^{*}(\nu ,\mu )}$

Da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ polnisch ist, ist für endliche Maße auf den reellen Zahlen die Konvergenz bezüglich der Prochorow-Metrik nach dem Satz von Helly-Bray äquivalent zur schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen.

Demnach ist für Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen die Konvergenz bezüglich der Prochorow-Metrik äquivalent zur schwachen Konvergenz der Verteilungsfunktionen (im Sinne der Stochastik) und damit auch äquivalent zur Konvergenz bezüglich des Lévy-Abstandes.

• V.M. Zolotarev: Lévy-Prokhorov metric. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 401–408, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 257–258, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.