Hamiltonsches Prinzip

Pierre Maupertuis sprach 1746 als erster von einem allgemeingültigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen (vgl. auch Ockhams Rasiermesser): Dem Prinzip der kleinsten Aktion bzw. Prinzip der kleinsten Wirkung.[2] Leonhard Euler und Joseph Lagrange klärten in der Mitte des achtzehnten Jahrhunderts, dass solch ein Prinzip die Gültigkeit von Euler-Lagrange-Gleichungen bedeute. Die lagrangesche Formulierung der Mechanik stammt von 1788. 1834 formulierte William Hamilton das nach ihm benannte Prinzip.

Max Planck deutete es als Hinweis darauf, dass sämtliche Naturprozesse zielgerichtet ablaufen. Es sei Zeichen einer Zweckbestimmung der Welt jenseits des menschlichen Sinnes- und Erkenntnisapparats.[3]

Richard Feynman zeigte in den 1940ern, dass sich das Hamiltonsche Prinzip in der Quantenfeldtheorie gerade dadurch ergibt, dass alle möglichen Pfade (auch die nicht zielgerichteten) zulässig sind und aufintegriert werden. Dabei überlagern sich Pfade mit extremaler Wirkung konstruktiv und davon abweichende destruktiv, so dass die Natur schließlich zielgerichtet erscheint.

In der Mechanik ist die Wirkung das zeitliche Integral über die sogenannte Lagrangefunktion

${\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} ).}$

Die Lagrangefunktion ist eine Funktion der Zeit ${\displaystyle t}$, des Ortes ${\displaystyle \mathbf {x} }$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Beispielsweise ist in Newtonscher Mechanik die Lagrangefunktion eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$, das sich im Potential ${\displaystyle V(t,\mathbf {x} )}$ bewegt, die Differenz von kinetischer und potentieller Energie:

${\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}-V(t,\mathbf {x} ),}$

In der relativistischen Mechanik ist die Lagrangefunktion eines freien Teilchens

${\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=-mc^{2}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}.}$[4]

Jeder Bahn ${\displaystyle \Gamma :t\mapsto \mathbf {x} (t)}$, die im Laufe der Zeit ${\displaystyle t}$ von einem Anfangspunkt ${\displaystyle {\underline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} (t_{1})}$ zu einem Endpunkt ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} (t_{2})}$ durchlaufen wird, ordnet die Wirkung folgenden Wert zu:

${\displaystyle S[\Gamma ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L{\bigl (}t,\mathbf {x} (t),\mathbf {v} (t){\bigr )}\mathrm {d} t.}$

Die Wirkung ${\displaystyle S}$ hat also die Dimension Energie mal Zeit.

Das Hamiltonsche Prinzip besagt nun, dass von allen denkbaren Bahnen, die anfänglich durch ${\displaystyle {\underline {\mathbf {x} }}}$ und schließlich durch ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}$ laufen, diejenigen Bahnen in der Natur durchlaufen werden, die eine stationäre Wirkung haben. Für die physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet die erste Variation der Wirkung:

${\displaystyle \delta S=0.}$

Sie genügen daher der Euler-Lagrange-Gleichung

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial v}}=0.}$[5]

Beispielsweise ergeben sich für die nichtrelativistische Bewegung eines Teilchens im Potential die Newtonschen Bewegungsgleichungen

${\displaystyle -\operatorname {grad} V-m{\ddot {x}}=0.}$

Bei einem freien relativistischen Teilchen ist der Impuls dagegen zeitunabhängig:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}=0.}$

In der Feldtheorie wird hingegen das Verhalten von Feldern untersucht, d. h. auf welche Weise sie sich verändern und mit ihrer Umgebung wechselwirken.

Setzt man in das Hamiltonsche Prinzip

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,L=0}$

die Lagrange-Dichte ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ein,

${\displaystyle L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)}$  mit einem Feld ${\displaystyle \,\phi =\phi (x,y,z,t),}$

erhält man das Hamiltonsche Prinzip für Felder, mit

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,\,{\mathcal {L}}=0\,.}$

Daraus folgt

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,{\mathcal {L}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\delta {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\sum {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x_{i})}}\delta {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}\right]}$

und durch partielle Integration, da die Randterme verschwinden,

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,{\mathcal {L}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}-\sum {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x_{i})}}\right]\delta \phi }$.

Dieser Integrand kann mithilfe des Raumzeit-Vierervektors ${\displaystyle x^{\mu }}$ kompakt als

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{\mu })}}}$

geschrieben werden. Man erkennt, dass diese Formulierung insbesondere für die Relativitätstheorie interessant ist, da hier über den Ort und die Zeit integriert wird. Analog zum gewöhnlichen Hamiltonschen Prinzip lassen sich aus dieser abgewandelten Version die Lagrangegleichungen für Felder bestimmen.

Entwickelt man die Quantenmechanik beginnend vom Pfadintegralformalismus, so wird sehr schnell klar, weshalb Wirkungsminimierung zur Beschreibung von klassischen Teilchenbahnen derart effizient ist. Hierbei gilt nämlich, dass die Wirkung für Bahnen, die einem meist im täglichen Leben begegnen, sehr groß gemessen an der Planck-Konstante ist, was häufig schon aufgrund der großen Masse makroskopischer Objekte der Fall ist. Somit ist die Exponentialfunktion im Pfadintegral, die die Wirkung enthält, eine sehr schnell oszillierende Funktion. Den Hauptbeitrag zum Pfadintegral liefern nun Terme, für die die Wirkung stationär ist. Hierbei ist sehr wichtig zu beachten, dass nur die Forderung nach Stationarität folgt und nicht eine Forderung nach einem Minimalwert. Dies bietet auch die passende Rechtfertigung dafür, dass üblicherweise nicht überprüft wird, ob die Extremwerte, die man durch das Minimieren der Wirkung erhält, tatsächlich Minimalwerte sind, denn man benötigt tatsächlich nur Extremwerte, um eine klassische Beschreibung zu erhalten.

Da das Wirkungsprinzip unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem ist, kann man die Euler-Lagrange-Gleichungen in solchen Koordinaten untersuchen, die dem jeweiligen Problem angemessen sind und beispielsweise Kugelkoordinaten verwenden, wenn es um die Bewegung im drehinvarianten Gravitationsfeld der Sonne geht. Dies vereinfacht die Lösung der Gleichung.

Zudem lassen sich bequem Zwangsbedingungen berücksichtigen, wenn mechanische Vorrichtungen die freie Bewegung der Massepunkte einschränken wie beispielsweise die Aufhängung bei einem Kugelpendel.

Vor allem aber lässt sich in dieser Formulierung der Bewegungsgleichungen das Noether-Theorem beweisen, das besagt, dass zu jeder Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße gehört und dass umgekehrt zu jeder Erhaltungsgröße eine Symmetrie der Wirkung gehört.

Die Erhaltungsgrößen wiederum sind ausschlaggebend dafür, ob sich die Bewegungsgleichungen durch Integrale über gegebene Funktionen lösen lassen.

• de Maupertuis: Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu’ici paru incompatibles. In: Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris, 15. April 1744, S. 417–426; Volltext (Wikisource)

1. Kai Willner: Kontinuums- und Kontaktmechanik. Springer-Verlag, 2003, S. 288; books.google.de
2. Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 920.
3. Carsten Könneker: Grenzen ziehen – oder überschreiten? Vorwort zum Themenbereich „Vernunft und Glaube“. In: Spektrum der Wissenschaft, Januar 2012.
4. Für ein Teilchen der Masse ${\displaystyle m}$ im Schwerefeld mit der potentiellen Energie ${\displaystyle \phi \,}$ ergibt sich nach der Einstein’schen Allgemeinen Relativitätstheorie in niedrigster Ordnung bezüglich ${\displaystyle \phi \,}$: ${\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )\cong -mc^{2}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}+{\frac {2\phi }{mc^{2}}}}}}$, was bei Taylorentwicklung bzgl. ${\displaystyle v^{2}}$ und ${\displaystyle \phi \,}$ genau zu ${\displaystyle L=T-V}$ passt.
5. zur Herleitung siehe L. Landau, J. M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik. 14. Auflage. Band 1: Mechanik. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-8171-1326-2, S. 3 f.