Primzerlegung (Topologie)

Eine geschlossene zusammenhängende ${\displaystyle d}$-dimensionale Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ ist eine Prim-Mannigfaltigkeit, wenn sie sich nicht als zusammenhängende Summe zerlegen lässt, also wenn aus

${\displaystyle M=M_{1}\sharp M_{2}}$

folgt, dass ${\displaystyle M_{1}}$ oder ${\displaystyle M_{2}}$ homöomorph zur Sphäre ${\displaystyle S^{d}}$ ist.

Als Prim-Zerlegung einer geschlossenen zusammenhängenden ${\displaystyle d}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ wird eine Zerlegung als zusammenhängende Summe von endlich vielen Prim-Mannigfaltigkeiten bezeichnet, also

${\displaystyle M=M_{1}\sharp \ldots \sharp M_{k}}$

mit Prim-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{k}}$ (den Primkomponenten).

Aus der Poincaré-Vermutung folgt, dass jede geschlossene zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit eine Primzerlegung besitzt. Tatsächlich lässt sich nach dem Satz von Grushko-Neumann jede endlich erzeugte Gruppe als freies Produkt unzerlegbarer Gruppen zerlegen. Weil (in Dimensionen ${\displaystyle d\geq 3}$) die Fundamentalgruppe der zusammenhängenden Summe das freie Produkt der Fundamentalgruppen der einzelnen Summanden ist, kann man dann jede 3-Mannigfaltigkeit als zusammenhängende Summe endlich vieler Mannigfaltigkeiten nichttrivialer Fundamentalgruppe mit (a priori) weiteren einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten zerlegen, letztere müssen aber nach der Poincaré-Vermutung homöomorph zur Sphäre sein.

Im Fall 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten war die Existenz einer Prim-Zerlegung bereits 1924, also lange vor dem Beweis der Poincaré-Vermutung, von Kneser bewiesen worden. Seine Methoden wurden später von Haken zum Beweis der Endlichkeit von Hierarchien inkompressibler Flächen in Haken-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert.

Kneser bewies, dass sich jede Zerlegung der Fundamentalgruppe einer geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit als freies Produkt ${\displaystyle \pi _{1}M=\Gamma _{1}*\Gamma _{2}}$ durch eine zusammenhängende Summe ${\displaystyle M=M_{1}\sharp M_{2}}$ mit ${\displaystyle \pi _{1}M_{i}=\Gamma _{i},i=1,2}$ realisieren lässt. Das analoge Problem in höheren Dimensionen war als Kneser-Vermutung bekannt, es gibt aber in allen Dimensionen ${\displaystyle d\geq 4}$ Gegenbeispiele zu dieser Vermutung.[1][2]

Die Prim-Zerlegung spielt eine wichtige Rolle in der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten. Eine 3-Mannigfaltigkeit ist genau dann prim, wenn sie entweder irreduzibel oder ein ${\displaystyle S^{2}}$-Bündel über ${\displaystyle S^{1}}$ ist.

Die Prim-Zerlegung geschlossener, orientierbarer 3-Mannigfaltigkeiten ist eindeutig (bis auf Umordnen und Homöomorphismen), das wurde 1962 von Milnor bewiesen.

In höheren Dimensionen gilt die Eindeutigkeit nicht, zum Beispiel ist

${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}\sharp {\overline {\mathbb {C} P^{2}}}\sharp {\overline {\mathbb {C} P^{2}}}\simeq (S^{2}\times S^{2})\sharp {\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$.

Auch für nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten gilt die Eindeutigkeit der Primzerlegung nicht, Gegenbeispiele gibt es bereits in Dimension 2.

• Hellmuth Kneser: Ein topologischer Zerlegungssatz. Proc. Konink. Nederl. Akad. Wetensch. 27 (1924), 601–616.
• John Milnor: A unique decomposition theorem for 3-manifolds. Amer. J. Math. 84 (1962), 1–7.

• Allen Hatcher: Notes on Basic 3-Manifold Topology (PDF; 385 kB) 2000 (englisch).

1. Kreck, Matthias; Lück, Wolfgang; Teichner, Peter: Counterexamples to the Kneser conjecture in dimension four. Comment. Math. Helv. 70 (1995), no. 3, 423–433, doi:10.1007/BF02566016.
2. Cappell, Sylvain E.: On connected sums of manifolds. Topology 13 (1974), 395–400.