Primorial

Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ ist die Primfakultät ${\displaystyle n\#}$ definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n\#=\prod _{p\ \mathrm {prim} }^{p\,\leq \,n}\!\!p}$

bzw. als ${\displaystyle p_{k}\#}$

${\displaystyle p_{k}\#=\prod _{i=1}^{k}p_{i}}$ .

Beide unterschiedliche Definitionen sind in der mathematischen Schreibweise einfach zu unterscheiden und in sich konsistent, allerdings beide Definitionen nicht durch den Funktionsnamen (Primorial, Primefactorial wie Primfakultät) zu unterscheiden.

${\displaystyle \qquad \quad 7\#=\prod _{p\ \mathrm {prim} }^{p\,\leq \,7}\!\!p=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210}$ ,

${\displaystyle p_{4}\#=7\#=\prod _{i=1}^{4}p_{i}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210}$ .

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem ${\displaystyle n}$ Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime ${\displaystyle n}$ undefiniert bleibt.

Im Fall ${\displaystyle n\leq 1}$ liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente ${\displaystyle n}$, die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese ${\displaystyle n}$ den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Um den Wert des Primorials ${\displaystyle 7\#}$ zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert ${\displaystyle 7\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210}$. Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen – da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt ${\displaystyle 7\#=8\#=9\#=10\#=210}$.

Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)

• Es seien ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle p\leq n<q}$:

${\displaystyle n\#=p\#}$

• Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung[1]

${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$.

• Ferner gilt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$

Für ${\displaystyle n<10^{11}}$ sind die Werte kleiner als ${\displaystyle e}$,[2] aber mit größeren ${\displaystyle n}$ überschreiten die Werte der Funktion die Schranke ${\displaystyle e}$ und oszillieren später unendlich oft um ${\displaystyle e}$.

• Ist ${\displaystyle p_{k}}$ die ${\displaystyle k}$-te Primzahl, dann hat ${\displaystyle p_{k}\#}$ genau ${\displaystyle 2^{k}}$ Teiler.

Zum Beispiel hat die Zahl ${\displaystyle 2\#}$ zwei Teiler, ${\displaystyle 3\#}$ hat vier Teiler, ${\displaystyle 5\#}$ hat acht Teiler und ${\displaystyle 97\#}$ hat bereits ${\displaystyle 2^{25}}$ Teiler, denn 97 ist die 25. Primzahl.

• Die Summe der Kehrwerte der Primfakultät konvergiert gegen eine Konstante

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{1 \over p_{k}\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+{1 \over 210}+\ldots =0{,}7052301717918\ldots }$

Die Engel-Entwicklung (eine spezielle Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)

• Der Satz von Euklid nutzt den Ausdruck ${\displaystyle p\#+1}$ für den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

(Siehe Folge A002110 in OEIS)

1. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
   Theorem 415, S. 341
2. L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions ${\displaystyle \theta (x)}$ and ${\displaystyle \psi (x)}$. II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
   Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef ${\displaystyle \theta }$ sur le ${\displaystyle k}$-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction ${\displaystyle \omega (n)}$, nombre de diviseurs premiers de ${\displaystyle n}$. Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371

• Primfakultät und Primorial