Primeval-Zahl

• Die kleinste Primeval-Primzahl ist ${\displaystyle p=2}$. Aus ihr kann man nur die Primzahl ${\displaystyle p=2}$ machen.
• Die kleinste Primeval-Zahl, die nicht gleichzeitig Primzahl ist, ist ${\displaystyle n=1037=17\cdot 61}$. Aus ihr kann man folgende Primzahlen machen:

3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 103, 107, 137, 173, 307, 317, 701, 1307, 3701, 7013, 7103

Es gibt keine kleinere natürliche Zahl ${\displaystyle m<n=1037}$, aus welcher man 19 oder mehr Primzahlen machen kann.

• Die kleinsten Primeval-Primzahlen sind die folgenden:

2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1237, 1367, 10079, 10139, 12379, 13679, 100279, 100379, 123479, 1001237, 1002347, 1003679, 1012379 … (Folge A119535 in OEIS)

• Sei ${\displaystyle n=117}$. Man kann aus ihr im Dezimalsystem, also zur Basis ${\displaystyle b=10}$, folgende Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen:

7, 11, 17, 71

Es sind nur vier Stück. Aber schon aus ${\displaystyle m=107<n=117}$ kann man 5 Primzahlen erzeugen (nämlich 7, 17, 71, 107 und 701). Somit ist ${\displaystyle n=117}$ im Dezimalsystem keine Primeval-Zahl.

Sei aber nun ${\displaystyle n=117_{12}}$ eine Zahl im Duodezimalsystem, also zur Basis ${\displaystyle b=12}$ (diese Zahl wäre im Dezimalsystem die Zahl ${\displaystyle n=117_{12}={\underline {1}}\cdot 12^{2}+{\underline {1}}\cdot 12^{1}+{\underline {7}}\cdot 12^{0}=144+12+7=163}$). Auch diese Zahl ist im Dezimalsystem keine Primeval-Zahl. Zur Basis ${\displaystyle b=12}$ kann man folgende Primzahlen daraus erzeugen:

${\displaystyle {\begin{aligned}7_{12}&=&&&&&{\underline {7}}\cdot 12^{0}&=&&&7\in \mathbb {P} \\11_{12}&=&&&{\underline {1}}\cdot 12^{1}&+&{\underline {1}}\cdot 12^{0}&=&12+1&=&13\in \mathbb {P} \\17_{12}&=&&&{\underline {1}}\cdot 12^{1}&+&{\underline {7}}\cdot 12^{0}&=&12+7&=&19\in \mathbb {P} \\117_{12}&=&{\underline {1}}\cdot 12^{2}&+&{\underline {1}}\cdot 12^{1}&+&{\underline {7}}\cdot 12^{0}&=&144+12+7&=&163\in \mathbb {P} \\171_{12}&=&{\underline {1}}\cdot 12^{2}&+&{\underline {7}}\cdot 12^{1}&+&{\underline {1}}\cdot 12^{0}&=&144+84+1&=&229\in \mathbb {P} \\711_{12}&=&{\underline {7}}\cdot 12^{2}&+&{\underline {1}}\cdot 12^{1}&+&{\underline {1}}\cdot 12^{0}&=&1008+12+1&=&1021\in \mathbb {P} \end{aligned}}}$

Somit kann man aus ${\displaystyle n=117_{12}}$ im Duodezimalsystem insgesamt 6 verschiedene Primzahlen aus den einzelnen Ziffern erzeugen. Weil man aus keiner kleineren Zahl ${\displaystyle m<n=117_{12}}$ im Duodezimalsystem 6 oder mehr Primzahlen erzeugen kann, ist ${\displaystyle n=117_{12}}$ eine Primeval-Zahl zur Basis ${\displaystyle b=12}$.

• Die ersten Primeval-Zahlen zur Basis ${\displaystyle b=12}$ sind die folgenden (dabei ist aus Ermangelung an weiteren Ziffern ${\displaystyle A:=10}$ und ${\displaystyle B:=11}$):

1, 2, 13, 15, 57, 115, 117, 125, 135, 157, 1017, 1057, 1157, 1257, 125B, 157B, 167B …

• Die Anzahl der Primzahlen, die man aus obig genannten Primeval-Zahlen zur Basis ${\displaystyle b=12}$ machen kann, lauten:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 20, 23, 27, 29, 33, 35 …

Beispiel:

An der 10. Stelle obiger beiden Listen kann man die Zahlen ${\displaystyle n=157_{12}}$ und ${\displaystyle 11}$ ablesen. Dies bedeutet, dass man aus der Zahl ${\displaystyle n=157_{12}}$ genau ${\displaystyle 11}$ verschiedene Primzahlen machen kann und dass es keine einzige Zahl ${\displaystyle m<n=157_{12}}$ zur Basis ${\displaystyle b=12}$ gibt, aus der man ${\displaystyle 11}$ oder mehr verschiedene Primzahlen machen kann.

• Die folgende Tabelle gibt die ersten 10 Primeval-Zahlen zur Basis ${\displaystyle b=12}$ an und welche Primzahlen man daraus machen kann:

Primeval-Zahl zur Basis ${\displaystyle b=12}$	entspricht im Dezimalsystem	daraus erhaltene Primzahlen zur Basis ${\displaystyle b=12}$	daraus erhaltene Primzahlen im Dezimalsystem	Anzahl der so erhaltenen Primzahlen
${\displaystyle 1_{12}}$	${\displaystyle 1\not \in \mathbb {P} }$			0
${\displaystyle 2_{12}}$	${\displaystyle 2\in \mathbb {P} }$	${\displaystyle 2_{12}}$	2	1
${\displaystyle 13_{12}}$	${\displaystyle 15\not \in \mathbb {P} }$	${\displaystyle 3_{12},31_{12}}$	3, 37	2
${\displaystyle 15_{12}}$	${\displaystyle 17\in \mathbb {P} }$	${\displaystyle 5_{12},15_{12},51_{12}}$	5, 17, 61	3
${\displaystyle 57_{12}}$	${\displaystyle 67\in \mathbb {P} }$	${\displaystyle 5_{12},7_{12},57_{12},75_{12}}$	5, 7, 67, 89	4
${\displaystyle 115_{12}}$	${\displaystyle 161\not \in \mathbb {P} }$	${\displaystyle 5_{12},11_{12},15_{12},51_{12},511_{12}}$	5, 13, 17, 61, 733	5
${\displaystyle 117_{12}}$	${\displaystyle 163\in \mathbb {P} }$	${\displaystyle 7_{12},11_{12},17_{12},117_{12},171_{12},711_{12}}$	7, 13, 19, 163, 229, 1021	6
${\displaystyle 125_{12}}$	${\displaystyle 173\in \mathbb {P} }$	${\displaystyle 2_{12},5_{12},15_{12},25_{12},51_{12},125_{12},251_{12}}$	2, 5, 17, 29, 61, 173, 349	7
${\displaystyle 135_{12}}$	${\displaystyle 185\not \in \mathbb {P} }$	${\displaystyle 3_{12},5_{12},15_{12},31_{12},35_{12},51_{12},315_{12},531_{12}}$	3, 5, 17, 37, 41, 61, 449, 757	8
${\displaystyle 157_{12}}$	${\displaystyle 211\in \mathbb {P} }$	${\displaystyle 5_{12},7_{12},15_{12},17_{12},51_{12},57_{12},75_{12},157_{12},175_{12},517_{12},751_{12}}$	5, 7, 17, 19, 61, 67, 89, 211, 233, 739, 1069	11

• Obiger Tabelle kann man entnehmen, dass die Zahlen ${\displaystyle 13_{12}=3_{12}\cdot 5_{12},115_{12}=7_{12}\cdot 1B_{12}}$ und ${\displaystyle 135_{12}=5_{12}\cdot 31_{12}}$ keine Primzahlen sind. Sie sind die kleinsten zusammengesetzten Primeval-Zahlen zur Basis ${\displaystyle b=12}$ (denn ${\displaystyle 1_{12}=1}$ ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl). Alle anderen nicht zusammengesetzten Primeval-Zahlen (außer ${\displaystyle 1_{12}=1}$) sind Primeval-Primzahlen zur Basis ${\displaystyle b=12}$.

• Wenn man die kleinste Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ sucht, welche alle einstelligen Primzahlen ${\displaystyle 2,3,5}$ und ${\displaystyle 7}$ enthält, so kann es sich nur um die Zahl ${\displaystyle n=2357}$ handeln. Diese Zahl ist somit eine 1-Primeval-Zahl. Alle anderen Zahlen, welche die Ziffern ${\displaystyle 2,3,5}$ und ${\displaystyle 7}$ enthalten, sind natürlich ebenfalls 1-Primeval-Zahlen (wie zum Beispiel ${\displaystyle n=3018253975}$).
• Die kleinsten k-Primeval-Zahlen sind die folgenden (für aufsteigendes ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$):

2357, 1123456789, 1012233445566778899, 10011222333444555666777888999, 1000111222233334444555666777788889999, 100001111222233333444445555566666777778888899999, 100000111112222233333344444555556666677777788888999999 … (Folge A134649 in OEIS)

• Die kleinsten k-Primeval-Primzahlen sind die folgenden (für aufsteigendes ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$):

2357, 1123465789, 10112233445566788997, 100111222333444555666777998889, 1000111222233334444555666777798889899, 100001111222233333444445555566666777778888999989 … (Folge A135377 in OEIS)

Weil diese Zahlen sehr schnell sehr hoch werden, hat sich folgende Schreibweise etabliert:

Zuerst beginnen alle Zahlen mit (1), welche immer in solchen Zahlen vorkommt, danach folgt die Anzahl aller darauffolgenden Nullen, danach die Anzahl aller darauffolgenden Einsen etc., gegen Ende folgt die Anzahl aller darauffolgenden Achter, zuletzt kommt eine Gruppe von Achtern und Neunern, die die gesuchte Zahl abschließt.

Beispiel:

Die kleinste 4-Primeval-Primzahl ist ${\displaystyle n=100111222333444555666777998889}$ und lautet in dieser Schreibweise: (1) 2 3 3 3 3 3 3 3 0 998889. Sie beginnt also mit einer Eins, darauf kommen zwei Nullen, drei Einsen, drei Zweier etc., gegen Ende kommen drei Siebener, Null Achter und zuletzt kommt noch die Ziffernfolge 998889.

• Mit obiger Schreibweise kann man die weiteren kleinsten k-Primeval-Primzahlen angeben, ohne viel Platz zu gebrauchen:

${\displaystyle k}$ kleinste k-Primeval-Primzahl in obiger Schreibweise 1 2357 (Schreibweise in diesem Fall untauglich) 2 1123465789 (Schreibweise in diesem Fall untauglich) 3 (1) 1 2 2 2 2 2 2 1 2 997 4 (1) 2 3 3 3 3 3 3 3 0 998889 5 (1) 3 3 4 4 4 3 3 4 0 98889899 6 (1) 4 4 4 5 5 5 5 5 4 999989 7 (1) 5 5 5 6 5 5 5 6 3 98899999 8 (1) 5 6 7 7 6 7 7 7 6 98999999 9 (1) 7 7 8 8 8 7 8 8 6 9999989899 10 (1) 8 8 8 9 9 9 9 9 7 9999899999

${\displaystyle k}$ kleinste k-Primeval-Primzahl in obiger Schreibweise 11 (1) 8 9 10 10 10 9 10 10 6 9889989999999 12 (1) 10 10 10 11 11 11 10 11 9 9998999999899 13 (1) 10 11 11 12 11 12 11 12 9 99899999999899 14 (1) 11 13 13 13 12 12 12 13 11 989999989999999 15 (1) 12 13 14 14 13 14 13 14 12 9999999988999999 16 (1) 13 14 14 15 14 14 14 15 12 99999999999999889 17 (1) 14 15 15 16 15 15 15 16 14 998999999999998999 18 (1) 16 17 17 17 16 17 17 17 14 9989999999999899999 19 (1) 17 18 17 18 17 17 17 18 15 988999999899999999999 20 (1) 17 19 18 19 19 18 19 19 16 999999998999999999989

${\displaystyle k}$ kleinste k-Primeval-Primzahl in obiger Schreibweise 21 (1) 18 19 19 20 19 19 20 20 17 9899999999999999998999 22 (1) 18 20 20 21 20 21 21 21 18 99998999999999999998999 23 (1) 21 23 21 22 21 21 22 22 19 999999889999999999999999 24 (1) 20 22 22 23 22 22 22 23 21 999999999999999989999999 25 (1) 23 23 23 24 23 23 23 24 22 9999999999999999998999999 26 (1) 23 24 24 25 25 25 24 25 22 999999999999999999899999989 27 (1) 24 25 25 26 25 25 25 26 23 9999999998999999999999998999 28 (1) 25 26 27 27 27 26 27 27 25 9999899999999999999999999999 29 (1) 25 27 27 28 27 27 27 28 25 999999989999999999999999999989 30 (1) 26 29 28 29 29 28 28 29 27 999999999999998999999999999999

Die kleinste 30-Primeval-Primzahl hat somit schon ${\displaystyle 1+26+29+28+29+29+28+28+29+27+30=284}$ Stellen.