Primäres Ideal

Ein Untermodul ${\displaystyle U}$ eines Moduls ${\displaystyle M}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist ein primärer Untermodul, wenn ${\textstyle M/U}$ nur ein assoziiertes Primideal besitzt. Das ist äquivalent damit, dass für alle ${\displaystyle r\in R}$ die Abbildung:

${\displaystyle h_{r}\colon M/U\to M/U}$

${\displaystyle h_{r}\colon m\mapsto r*m}$

entweder injektiv oder nilpotent ist.

Ist ${\displaystyle p}$ das assoziierte Primideal, so wird ${\displaystyle U}$ auch als ${\displaystyle p}$-primärer Untermodul bezeichnet.

Ein Ideal ${\displaystyle p}$ eines Ringes ${\displaystyle R}$ ist ein primäres Ideal, wenn es als Untermodul von ${\displaystyle R}$ ein primärer Untermodul ist. Das ist äquivalent dazu, dass jeder Nullteiler von ${\displaystyle R/p}$ nilpotent ist.

Durch Elemente aus ${\displaystyle R}$ ausgedrückt bedeutet das: Ein Ideal ${\displaystyle p\subset R}$ is primär, wenn ${\displaystyle \forall r,s\in R:(rs\in p\rightarrow r\in p{\text{ oder }}\exists m>0:s^{m}\in p)}$.