Quadratische Gleichung

Die Anzahl der Lösungen lässt sich mit Hilfe der sog. Diskriminante ${\displaystyle D}$ bestimmen. Im allgemeinen Fall ist ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$, im normierten Fall ist ${\displaystyle D=p^{2}-4q}$ (zur Herleitung siehe unten):

Lage der Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der reellen Nullstellen und der Diskriminante:

• A Diskriminante positiv: Die Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der ${\displaystyle x}$-Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}\ .}$
• B Diskriminante Null: Die Parabel hat genau einen Berührpunkt mit der ${\displaystyle x}$-Achse, nämlich ihren Scheitelpunkt. Es gibt somit genau eine (doppelte) reelle Lösung. Die quadratische Gleichung ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ lässt sich auf die Form ${\displaystyle a\cdot (x-x_{1})^{2}=0}$ bringen.
• C Diskriminante negativ: Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der ${\displaystyle x}$-Achse, es gibt keine reellen Lösungen der quadratischen Gleichung. Lässt man komplexe Zahlen als Grundmenge für die Lösungen zu, erhält man zwei verschiedene komplexe Lösungen. Diese sind zueinander konjugiert, das heißt, sie haben den gleichen Realteil und ihre Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Ist der Koeffizient des linearen Gliedes ${\displaystyle b=0}$ oder das absolute Glied ${\displaystyle c=0}$, so lässt sich die quadratische Gleichung durch einfache Äquivalenzumformungen lösen, ohne dass eine allgemeine Lösungsformel benötigt würde.

Die reinquadratische Gleichung ${\displaystyle ax^{2}+c=0}$ mit ${\displaystyle a\neq 0}$ ist äquivalent zu

${\displaystyle x^{2}=-{\frac {c}{a}}\ .}$

Die Lösungen lauten

${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}\ .}$

Im Fall ${\displaystyle a\cdot c<0\,}$ existieren zwei Lösungen. Im Fall ${\displaystyle a\cdot c>0\,}$ existieren keine reellen Lösungen. Die komplexen Lösungen sind dann

${\displaystyle x_{1,2}=\pm \mathrm {i} {\sqrt {\frac {c}{a}}}\ .}$

Zum Beispiel hat die Gleichung ${\displaystyle x^{2}-3=0}$ die Lösungen ${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {3}}}$. Die Gleichung ${\displaystyle 2x^{2}+8=0}$ hat keine reellen Lösungen, die komplexen Lösungen lauten ${\displaystyle x_{1,2}=\pm 2\mathrm {i} }$.

Der Fall ${\displaystyle a\cdot c=0}$ und wegen ${\displaystyle a\neq 0}$ damit ${\displaystyle c=0\,}$, also eine doppelte Lösung, tritt nur bei Gleichungen vom Typ ${\displaystyle ax^{2}=0}$ mit ${\displaystyle a\neq 0}$ ein und sie lautet ${\displaystyle x_{1}=0}$.

Aus der Gleichung ${\displaystyle ax^{2}+bx=0}$ ergibt sich durch Ausklammern ${\displaystyle x(ax+b)=0}$, d. h., es muss ${\displaystyle x=0}$ oder ${\displaystyle ax+b=0}$ gelten. Die beiden Lösungen lauten also

${\displaystyle x_{1}=0}$  und  ${\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{a}}\ .}$

Zum Beispiel hat die Gleichung ${\displaystyle 3x^{2}-2x=0}$ die Lösungen ${\displaystyle x_{1}=0}$ und ${\displaystyle x_{2}={\tfrac {2}{3}}}$.

Die Scheitelpunktform

${\displaystyle a(x-d)^{2}+e=0}$

ist eine Variation der reinquadratischen Gleichung ${\displaystyle ax^{2}+c=0}$. Sie kann wie diese durch „Rückwärtsrechnen“ gelöst werden: Zunächst subtrahiert man ${\displaystyle e}$ und dividiert durch ${\displaystyle a}$. Dies führt zu

${\displaystyle (x-d)^{2}=-{\frac {e}{a}}\ .}$

Für ${\displaystyle -{\frac {e}{a}}\geq 0}$ ergibt sich daraus

${\displaystyle x-d=\pm {\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}}$

Durch Addition von ${\displaystyle d}$ erhält man die Lösungen

${\displaystyle x_{1}=d+{\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}}$  und  ${\displaystyle x_{2}=d-{\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}\ .}$

Für ${\displaystyle -{\frac {e}{a}}<0}$ erhält man entsprechend die beiden komplexen Lösungen

${\displaystyle x_{1}=d+\mathrm {i} {\sqrt {\frac {e}{a}}}}$  und  ${\displaystyle x_{2}=d-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {e}{a}}}\ .}$

Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}3(x-2)^{2}-5&=0&&|+5;:3\\(x-2)^{2}&={\frac {5}{3}}&&|\pm {\sqrt {\ }}\\x-2&=\pm {\sqrt {\frac {5}{3}}}&&|+2\\x&=2\pm {\sqrt {\frac {5}{3}}}\end{aligned}}}$

Beim Lösen mit quadratischer Ergänzung werden die binomischen Formeln benutzt, um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form oder in Normalform auf die Scheitelpunktform zu bringen, die dann einfach aufgelöst werden kann.

Man verwendet die erste bzw. zweite binomische Formel in der Form ${\displaystyle (x\pm d)^{2}=x^{2}\pm 2dx+d^{2}\ .}$

Dazu wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass die linke Seite die Form ${\displaystyle x^{2}\pm 2dx}$ hat. Danach wird auf beiden Seiten ${\displaystyle d^{2}}$ addiert. Dies ist die „quadratische Ergänzung“. Die linke Seite hat nun die Gestalt ${\displaystyle x^{2}\pm 2dx+d^{2}}$ und kann mit der binomischen Formel zu ${\displaystyle (x\pm d)^{2}}$ umgeformt werden. Danach liegt die Gleichung in der leicht aufzulösenden Scheitelpunktform vor.

Dies wird am besten anhand eines konkreten Zahlenbeispiels erklärt. Betrachtet wird die quadratische Gleichung

${\displaystyle 3x^{2}-15x+18=0\ .}$

Zunächst wird die Gleichung normiert, indem man durch den Leitkoeffizienten (hier 3) dividiert:

${\displaystyle x^{2}-5x+6=0\ .}$

Das konstante Glied (hier 6) wird auf beiden Seiten subtrahiert:

${\displaystyle x^{2}-5x=-6\ .}$

Nun folgt die eigentliche quadratische Ergänzung: Die linke Seite muss so ergänzt werden, dass sich eine binomische Formel (hier die zweite) rückwärts anwenden lässt. Das ${\displaystyle d}$ aus der obigen binomischen Formel ist dann ${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}$, also muss auf beiden Seiten der Gleichung ${\displaystyle d^{2}=\left({\tfrac {5}{2}}\right)^{2}}$ addiert werden:

${\displaystyle x^{2}-5x+\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}-6\ .}$

Die linke Seite wird nach der binomischen Formel umgeformt, die rechte Seite vereinfacht:

${\displaystyle \left(x-{\frac {5}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}\ .}$

Dies führt zu

${\displaystyle x-{\frac {5}{2}}=\pm {\frac {1}{2}}}$ ,

also zu den beiden Lösungen ${\displaystyle x_{1}={\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}=3}$  und  ${\displaystyle x_{2}={\frac {5}{2}}-{\frac {1}{2}}=2\ .}$

Man kann quadratische Gleichungen auch lösen, indem man eine der mit Hilfe der quadratischen Ergänzung hergeleiteten allgemeinen Lösungsformeln verwendet.

Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ lauten:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ }$.

Die Formel wird in Teilen Deutschlands und der Schweiz umgangssprachlich als Mitternachtsformel bezeichnet, weil „Schüler sie aufsagen können sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt und nach der Formel fragt“.[2] In Österreich ist der Ausdruck große Lösungsformel gebräuchlich.[3]

Alternative Formulierungen der a-b-c-Formel, die mehr der weiter unten behandelten p-q-Formel ähneln, sind:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}=-{\frac {\ b}{2a}}\pm {\sqrt {\left(-{\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ }$

Wenn man die quadratische Gleichung in der Form

${\displaystyle ax^{2}+2\beta x+c=0}$

angibt (d. h. mit ${\displaystyle \beta =b/2}$), erhält man die etwas einfachere Lösungsformel:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-\beta \pm {\sqrt {\beta ^{2}-ac}}}{a}}}$

Durch Erweitern der a-b-c-Formel mit dem Term ${\displaystyle -b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$ erhält man eine Formel, welche auch für den linearen Fall ${\displaystyle a=0}$ anwendbar ist, dafür jedoch im Fall ${\displaystyle c=0}$ die Berechnung der Lösung ${\displaystyle x={\frac {-b}{a}}}$ wegen einer Division durch Null nicht mehr liefern kann. In beiden Fällen wird die Lösungsformel ohnehin nicht benötigt. Für betragsmäßig sehr kleine ${\displaystyle a}$ ist die alternative Form jedoch robuster gegenüber numerischer Auslöschung.

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {\left(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\cdot \left(-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{2a\cdot \left(-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}$

Ist die oben eingeführte Diskriminante ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. Im Zahlbereich der reellen Zahlen gibt es hierfür keine Lösungen. Im Bereich der komplexen Zahlen gilt ${\displaystyle {\sqrt {D}}=\mathrm {i} {\sqrt {-D}}}$. Dieser Term bestimmt den Imaginärteil der beiden zueinander konjugierten Lösungen, einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen. Der Term davor mit ${\displaystyle -{\tfrac {b}{2a}}}$ wird zum konstanten Realteil der beiden Lösungen:

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\pm \mathrm {i} {\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}=-{\frac {\ b}{2a}}\pm \mathrm {i} {\sqrt {\,{\Bigg |}\!\left(-{\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}{\Bigg |}}}\ }$ (komplexer Fall bei negativer Diskriminante).

Aus der allgemeinen Form ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung:

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}ax^{2}+bx+c&=&0&|-c\\[1ex]ax^{2}+bx&=&-c&|{}\cdot 4a\\[1ex]4a^{2}x^{2}+4abx&=&-4ac&|+b^{2}{\text{ (quadratische Ergänzung)}}\\[1ex](2ax)^{2}+2\cdot 2ax\,b+b^{2}&=&b^{2}-4ac&|{\text{ Umformen mit binomischer Formel}}\\[1ex](2ax+b)^{2}&=&b^{2}-4ac&|\pm {\sqrt {\quad }}\\[1ex]2ax+b&=&\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}&|-b\\[1ex]2ax&=&-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}&|:(2a)\\[1ex]x&=&{\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}&\end{array}}}$

Bei der quadratischen Gleichung

${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$

ist ${\displaystyle a=1,b=-1}$ und ${\displaystyle c=-1}$. Durch Einsetzen dieser Werte in die a-b-c-Formel erhält man die Lösungen

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)}}}{2\cdot 1}}={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}$.

Bei Vorliegen der Normalform ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ lauten die Lösungen nach der p-q-Formel:

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}$

In Österreich ist diese Formel als kleine Lösungsformel bekannt.[3]

Wie bei der a-b-c-Formel gibt es, wenn ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}D=\left({\tfrac {p}{2}}\right)^{2}-q}$ negativ ist, im Zahlbereich der reellen Zahlen keine Lösungen. Die komplexen Lösungen ergeben sich dann zu:

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {\frac {-D}{4}}}}$

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm \mathrm {i} {\sqrt {\,q-\!\left({\frac {p}{2}}\right)^{\!2}}}}$

Die Formel ergibt sich aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}x^{2}+px+q&=&0&|-q\\[1ex]x^{2}+px&=&-q&|+\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}{\text{ (quadratische Ergänzung)}}\\[1ex]x^{2}+2\cdot {\dfrac {p}{2}}\ x+\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}&=&\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-q&|{\text{ binomische Formel}}\\[1ex]\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}&=&\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-q&|{\text{ Wurzel ziehen}}\\[1ex]\left|x+{\dfrac {p}{2}}\right|&=&{\sqrt {\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-q}}&|{\text{ Betrag auflösen}}\\[1ex]x+{\dfrac {p}{2}}&=&\pm {\sqrt {\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-q}}&|-{\dfrac {p}{2}}\\[1ex]x&=&-{\dfrac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\end{array}}}$

Eine andere Möglichkeit, die Formel herzuleiten, besteht darin, dass man in der a-b-c-Formel ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle b=p}$ und ${\displaystyle c=q}$ setzt und den Nenner 2 in die Wurzel hineinzieht.

Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen:

${\displaystyle x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})}$

und das nicht normierte in

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\ .}$

Liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und hat die Lösungen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$, so gilt

${\displaystyle 0=x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}\ .}$

Durch Koeffizientenvergleich erhält man den Satz von Vieta

${\displaystyle \,x_{1}+x_{2}=-p}$  und  ${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=q\ .}$

Insbesondere wenn ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ ganze Zahlen sind, lassen sich so durch Ausprobieren, ob Teilerpaare von ${\displaystyle q}$ als Summe ${\displaystyle -p}$ ergeben, mit einiger Übung oft die Lösungen rasch finden. Beispielsweise erhält man für ${\displaystyle x^{2}+4x+3=0}$ die Lösungen ${\displaystyle x_{1}=-1}$ und ${\displaystyle x_{2}=-3}$ durch die Zerlegung ${\displaystyle 3=(-1)(-3)}$ mit ${\displaystyle (-1)+(-3)=-4\ .}$

Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden:

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {p}{2}}-\operatorname {sgn}(p)\cdot {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {q}{x_{1}}}}$

Hierbei hat ${\displaystyle \operatorname {sgn}(p)}$ den Wert ${\displaystyle -1}$ für ${\displaystyle p<0}$ und sonst den Wert ${\displaystyle 1}$. Die erste Formel ergibt die betragsgrößte Lösung. Die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta.

Die Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ sind die Nullstellen der Parabel ${\displaystyle f(x)=x^{2}+px+q}$. Diese erhält man u. a. auch mit Hilfe des Carlyle-Kreises (Bild 1):

• Zeichne in einem kartesischen Koordinatensystem einen Kreis um den Mittelpunkt ${\displaystyle M=\left({\tfrac {-p}{2}}|{\tfrac {q+1}{2}}\right)}$ derart, dass er durch den Punkt ${\displaystyle A(0|1)}$ geht. Die Schnittpunkte mit der X-Achse sind, sofern vorhanden, die reellen Lösungen der Gleichung.

Bild 1
Mithilfe des Carlyle-Kreises

Bild 3
Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{2}-px-q=0}$
Für ${\displaystyle x^{2}+px-q=0}$ sind die Punkte ${\displaystyle C,D,E,F}$ an ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ zu spiegeln.

Bild 2
Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{2}-px+q=0}$
Für ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ sind die Punkte ${\displaystyle C,D,E,F}$ an ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ zu spiegeln.

• Auflösung einer quadratischen Gleichung durch bloßes Ziehen von geraden Linien bei Benutzung eines gezeichneten Kreises.[4]

Die im Folgenden beschriebene Konstruktion ist prinzipiell anwendbar für Lösungen der Gleichungen, in denen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ rationale Zahlen sind:

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$,

${\displaystyle x^{2}-px+q=0}$,

${\displaystyle x^{2}+px-q=0}$,

${\displaystyle x^{2}-px-q=0}$.

Die in den Bildern eingezeichneten Parabeln sind nicht Teil der Konstruktion, sie dienen lediglich der Verdeutlichung.

Gegeben sei beispielsweise die Gleichung ${\displaystyle x^{2}-px+q=0}$ (Bild 2):

In einem kartesischen Koordinatensystem wird zuerst der Kreisbogen ${\displaystyle k}$ mit Radius gleich ${\displaystyle 1}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle M(0|1)}$ eingezeichnet und anschließend die zueinander parallelen Tangenten an den Punkten ${\displaystyle A(0|2)}$ und ${\displaystyle B(0|0)}$ eingetragen. Nun sind auf den entsprechenden Tangenten die Punkte ${\displaystyle C\left({\tfrac {4}{p}}|2\right)}$ und ${\displaystyle D\left({\tfrac {q}{p}}|0\right)}$ zu bestimmen. Eine Verbindung des Punktes ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle D}$ erzeugt auf dem Kreisbogen ${\displaystyle k}$ die Schnittpunkte ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$. Die abschließenden beiden geraden Linien ab Punkt ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ liefern auf der ${\displaystyle x}$-Achse die Punkte ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$. Die Längen ${\displaystyle |{\overline {BX_{1}}}|=x_{1}}$ und ${\displaystyle |{\overline {BX_{2}}}|=x_{2}}$ entsprechen den beiden Lösungen der quadratischen Gleichung ${\displaystyle x^{2}-px+q=0}$.

• Für die Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{2}-px-q=0}$ (Bild 3) gilt: ${\displaystyle D\left(-{\tfrac {q}{p}}|0\right)}$ mit ${\displaystyle |{\overline {BX_{1}}}|=-x_{1}}$ und ${\displaystyle |{\overline {BX_{2}}}|=x_{2}}$.

Für die Gleichung

${\displaystyle 4x^{2}-12x-40=0}$

ergeben sich als Lösungen nach der a-b-c-Formel

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-(-12)\pm {\sqrt {(-12)^{2}-4\cdot 4\cdot (-40)}}}{2\cdot 4}}}$ ,

also ${\displaystyle x_{1}=-2}$ und ${\displaystyle x_{2}=5\ .}$

Zur Nutzung der p-q-Formel wird die allgemeine Form zuerst in die Normalform überführt, indem die Gleichung durch 4 dividiert wird:

${\displaystyle x^{2}-3x-10=0\ .}$

Mit der p-q-Formel ergeben sich die Lösungen

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {-3}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-3}{2}}\right)^{2}-(-10)}}}$ ,

also somit ebenfalls ${\displaystyle x_{1}=-2}$ und ${\displaystyle x_{2}=5\ .}$

Mit Hilfe der Zerlegungen ${\displaystyle -10=(-2)\cdot 5}$ und ${\displaystyle 5-2=3}$ erhält man dieselben Lösungen mit dem Satz von Vieta.

• ${\displaystyle x^{2}+2x-35=0}$
  Die Diskriminante ist positiv. Es ergeben sich die beiden reellen Lösungen ${\displaystyle x_{1}=-7\,}$ und ${\displaystyle x_{2}=5\ .}$
• ${\displaystyle x^{2}-4x+4=0}$
  Die Diskriminante ist null. Die (doppelte) reelle Lösung ist ${\displaystyle x=2\ .}$
• ${\displaystyle x^{2}+12x+37=0}$
  Die Diskriminante ist negativ, daher gibt es keine reellen Lösungen. Die komplexen Lösungen ergeben sich zu ${\displaystyle x_{1}=-6+i\,}$ und ${\displaystyle x_{2}=-6-i\ .}$

Die quadratische Gleichung

${\displaystyle az^{2}+bz+c=0}$

mit komplexen Koeffizienten ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle a\neq 0}$ hat stets zwei komplexe Lösungen ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$, die genau dann zusammenfallen, wenn die Diskriminante ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ gleich null ist.

Die Lösungen lassen sich wie im reellen Fall durch quadratische Ergänzung oder mit den oben angegebenen Lösungsformeln berechnen. Dabei muss allerdings im Allgemeinen eine Quadratwurzel einer komplexen Zahl berechnet werden.

Für die quadratische Gleichung

${\displaystyle z^{2}-(\mathrm {i} +1)z+\mathrm {i} =0}$

hat die Diskriminante den Wert ${\displaystyle D=-2\mathrm {i} =(\mathrm {i} -1)^{2}}$. Es ergeben sich die beiden Lösungen ${\displaystyle z_{1}=1}$ und ${\displaystyle z_{2}=\mathrm {i} \ .}$

Allgemein nennt man in der abstrakten Algebra eine Gleichung der Form

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

mit Elementen ${\displaystyle p,q}$ eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In Körpern und allgemeiner in Integritätsbereichen hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei Lösungen haben.

Falls Lösungen existieren, dann erhält man sie in kommutativen Ringen ebenfalls mit der p-q-Formel, falls die Charakteristik des Ringes ungleich 2 ist. Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen. Für einen endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{n}}\cong \mathbb {F} _{2}(\varrho )}$ der Charakteristik 2 macht man den Ansatz ${\displaystyle x=\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\varrho ^{i}}$ und gelangt mittels ${\displaystyle x^{2}=\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\varrho ^{2i}}$ zu einem linearen Gleichungssystem für die n Koeffizienten a_i aus ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$.

Die quadratische Gleichung

${\displaystyle x^{2}-1=0}$

hat im Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$ die vier Lösungen 1, 3, 5 und 7.