Potenzgesetz (Statistik)

• Beziehung zwischen Seitenlänge und Flächeninhalt eines Quadrats
• Stevenssche Potenzfunktion – Beziehung zwischen der menschlichen Empfindungsstärke und der Reizstärke
• Kleibers Gesetz – Beziehung zwischen Masse und Stoffwechsel von Tieren

Die Pareto-Verteilung wurde zunächst zur Beschreibung der Einkommensverteilung Italiens verwendet. Pareto-verteilte Größen weisen das aus dem Pareto-Prinzip (auch 80-zu-20-Regel) bekannte Phänomen der Ungleichverteilung auf: Kleinere Werte sind recht häufig, große Werte hingegen sehr selten. Im Städte-Beispiel (siehe Abbildung in der Einleitung) tragen wenige Großstädte überproportional zur Gesamtbevölkerung bei.

Das Zipfsche Gesetz ist ein Modell, mit dessen Hilfe man bei bestimmten Größen, die in eine Rangfolge gebracht werden, deren Wert aus ihrem Rang abschätzen kann. Die vereinfachte Aussage des Zipfschen Gesetzes lautet: Wenn die Elemente einer Menge – beispielsweise die Wörter eines Textes – nach ihrer Häufigkeit geordnet werden, ist die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ ihres Auftretens umgekehrt proportional zum Platz ${\displaystyle n}$ auf der Häufigkeitsliste.

Die Gradverteilung eines Barabási-Albert-Netzwerks mit 200.000 Knoten und maximalem Grad von 882.

Potenzgesetze treten bei der Häufigkeitsverteilung von Knotengraden in skalenfreien Netzen auf. László Barabási und Réka Albert haben drei verschiedene reale Netzwerke untersucht. In allen drei Netzen fanden sie nahezu identische Potenzgesetze. Außerdem haben sie das Barabási-Albert-Modell entwickelt, das durch Anwendung der sogenannten bevorzugten Bindung den Aufbau von realen Netzen nachbildet, deren Häufigkeitsverteilungen ebenfalls einem Potenzgesetz folgen.[2]

Ein Potenzgesetz der Größenverteilung ergibt sich bei exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl als auch die Ausdehnung der zu messenden Objekte exponentiell wächst. Die Größenverteilung der Objekte zu einem beliebigen Zeitpunkt gehorcht dann einem Potenzgesetz:

Beispielsweise sei die Anzahl von Städten zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ eine exponentiell wachsende Größe:

${\displaystyle n(t)=e^{\nu t}}$

Die Ausdehnung einer zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{i}}$ gegründeten Stadt zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ sei ebenso exponentiell wachsend:

${\displaystyle k_{i}=e^{\mu (t-t_{i})}\;\;\;(\in {[1,\infty [})}$

Für die Ausdehnung ${\displaystyle k_{i}}$ der Städte gilt folglich die Wahrscheinlichkeitsaussage

${\displaystyle P[k_{i}(t)<k]=P[e^{\mu (t-t_{i})}<k]}$.

Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich daraus:

${\displaystyle P[k_{i}(t)<k]=P[\mu (t-t_{i})<\ln {k}]=P[t-t_{i}<\ln {k^{1/\mu }}]=1-P[t_{i}\leq t-\ln {k^{1/\mu }}]}$

Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$, dass eine zufällige Stadt ${\displaystyle i}$ vor einem gewählten Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ gegründet worden ist, beträgt

${\displaystyle P_{t}[t_{i}<t_{0}]={\frac {n(t_{0})}{n(t)}}={\frac {e^{\nu t_{0}}}{e^{\nu t}}}=e^{\nu (t_{0}-t)}}$.

Verwendet man diese Formel für die Berechnung der Verteilungsfunktion (setze ${\displaystyle t_{0}=t-\ln {k^{1/\mu }}}$), so ergibt sich die Verteilungsfunktion

${\displaystyle P[k_{i}(t)<k]=1-e^{\nu (t-\ln {k^{1/\mu }}-t)}=1-e^{\ln {k^{-\nu /\mu }}}=1-{\frac {1}{k^{\nu /\mu }}}}$.

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte für die Ausdehnung (Ableitung der Verteilungsfunktion; „Größenverteilung“) ist folglich von der gesuchten Form:

${\displaystyle p(k)=a\cdot k^{-(1+\nu /\mu )}\;,\;\;\;k\in {[1,\infty [}}$

das heißt mit ${\displaystyle a=-1-\mu /\nu }$.

• Lotkas Gesetz – Verteilung der Anzahl von wissenschaftlichen Zeitschriftenartikeln auf Autoren
• Lewis Fry Richardson – Verteilung der Anzahl von Konflikten, bezogen auf ihre Größe, gemessen an der Zahl der Opfer