Potenz (Geometrie)

Orthogonalkreis (grün)

Zu einem Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb des Kreises ${\displaystyle k}$ gibt es zwei Berührpunkte ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ auf dem Kreis ${\displaystyle k}$ (siehe Bild), die gleich weit von ${\displaystyle P}$ entfernt sind. Der Kreis mit ${\displaystyle P}$ als Mittelpunkt durch ${\displaystyle T_{1}}$ geht also auch durch ${\displaystyle T_{2}}$ und schneidet den Kreis ${\displaystyle k}$ senkrecht. Dies liefert eine weitere geometrische Bedeutung der Potenz:

• Der Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle P}$ und Radius ${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$ schneidet den Kreis ${\displaystyle k}$ senkrecht.

Schnittwinkel zweier Kreise

Falls der Radius ${\displaystyle \rho }$ des Kreises um ${\displaystyle P}$ ungleich ${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$ ist, erhält man den Schnittwinkel ${\displaystyle \varphi }$ der beiden Kreise mit Hilfe des Kosinussatzes (siehe Bild):

${\displaystyle \rho ^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi =|PM|^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PM|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

(${\displaystyle PS_{1}}$ und ${\displaystyle MS_{1}}$ sind Normalen zu den Kreistangenten.)

Liegt ${\displaystyle P}$ in dem blauen Kreis, ist ${\displaystyle \Pi (P)<0}$ und damit ${\displaystyle \varphi }$ immer ungleich ${\displaystyle 90^{\circ }}$.

Falls der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ vorgegeben wird, erhält man den Radius ${\displaystyle \rho }$ aus der quadratischen Gleichung

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0}$.

Sekantensatz, Sehnensatz

Im Sekantensatz und Sehnensatz spielt die Potenz eines Punktes die Rolle einer Invarianten:

• Sekantensatz: Liegt der Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb des Kreises und sind ${\displaystyle S_{1}}$ und ${\displaystyle S_{2}}$ die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden ${\displaystyle g}$ durch ${\displaystyle P}$ mit dem Kreis, so ist ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)}$, also unabhängig von der Gerade ${\displaystyle g}$. Diese Aussage ist auch dann noch richtig, wenn ${\displaystyle S_{1}}$ und ${\displaystyle S_{2}}$ zusammenfallen (Sekanten-Tangenten-Satz).
• Sehnensatz: Sind ${\displaystyle S_{1}}$ und ${\displaystyle S_{2}}$ die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden ${\displaystyle g}$ durch ${\displaystyle P}$ mit dem Kreis, so ist ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$.

Betrachtet man zu zwei vorgegebenen Kreisen (Mittelpunkte ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ und Radien ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$), einen Punkt ${\displaystyle P}$, so hat dieser die Potenz ${\displaystyle \Pi _{1}(P)}$ bezgl. des ersten Kreises und die Potenz ${\displaystyle \Pi _{2}(P)}$ bezgl. des zweiten Kreises. Bestimmt man die Gesamtheit aller Punkte, die bezgl. beider Kreise dieselbe Potenz besitzen, es ist also ${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)}$, so erhält man eine Gerade, die Potenzgerade der beiden Kreise.

Ein wesentliches Werkzeug Steiners bei seinen Untersuchungen sind die Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise[6].

Es seien

${\displaystyle \ k_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})-r_{1}^{2}=0,\quad k_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})-r_{2}^{2}=0,\ }$ zwei Kreise.

Eine zentrische Streckung (Ähnlichkeitsabbildung) ${\displaystyle \sigma }$, die ${\displaystyle k_{1}}$ auf ${\displaystyle k_{2}}$ abbildet, muss den Radius ${\displaystyle r_{1}}$ auf ${\displaystyle r_{2}}$ strecken (stauchen) und hat ihr Zentrum ${\displaystyle Z:{\vec {z}}}$ auf der Gerade ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ (${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$). Liegt das Zentrum zwischen ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ist der Streckfaktor ${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$. Im anderen Fall ist ${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$. In jedem Fall ist:

${\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}}$.

setzt man ${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ ein und löst nach ${\displaystyle {\vec {z}}}$ auf erhält man:

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}}$.

Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise: verschiedene Lagen

Den Punkt

${\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$

nennt man äußeren Ähnlichkeitspunkt und

${\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}$

inneren Ähnlichkeitspunkt.

(Um Nachzuweisen, dass die Streckung an ${\displaystyle E}$ mit dem Faktor ${\displaystyle {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ den Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ auf den Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ abbildet, darf man annehmen, dass ${\displaystyle E}$ der Ursprung ist. Analog für die Streckung an ${\displaystyle I}$.)

Im Fall ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ ist ${\displaystyle E=I=M_{i}}$.
Im Fall ${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$ ist ${\displaystyle E}$ der Fernpunkt der Gerade ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ und ${\displaystyle I}$ der Mittelpunkt von ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$.
Im Fall ${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$ berühren sich die Kreise in ${\displaystyle E}$ innerlich (beide Kreise auf einer Seite der gemeinsamen Tangente).
Im Fall ${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$ berühren sich die Kreise in ${\displaystyle I}$ äußerlich (beide Kreise auf verschiedenen Seiten der gemeinsamen Tangente).

Ferner gilt:

• Liegen die zwei Kreise getrennt (die Kreisflächen haben keine Punkte gemeinsam), so gehen von den vier gemeinsamen Tangenten die äußeren durch ${\displaystyle E}$ und die inneren durch ${\displaystyle I}$.
• Liegt ein Kreis in dem anderen, so liegen ${\displaystyle A,I}$ innerhalb beider Kreise.
• Die Punktepaare ${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$ liegen harmonisch: Sie haben das Doppelverhältnis ${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$.

Der Satz von Monge zeigt, dass die äußeren Ähnlichkeitspunkte von drei getrennt liegenden Kreisen auf einer Gerade liegen.

Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise

Sind ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ zwei Kreise, ${\displaystyle E}$ ihr äußerlicher Ähnlichkeitspunkt und ${\displaystyle g}$ eine Gerade durch ${\displaystyle E}$, die die beiden Kreise in Punkten ${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$ schneiden, so folgt aus der Eigenschaft von ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }$

und aus dem Sekantensatz (siehe oben)

${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}$

Aus den drei Gleichungen folgt:

${\displaystyle \Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \ =|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .}$

Also gilt:

• ${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}\ }$ (unabhängig von ${\displaystyle g}$ !).

Das analoge Resultat erhält man für eine Sekante durch den inneren Ähnlichkeitspunkt ${\displaystyle I}$.

Die Invarianten ${\displaystyle \ {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}\ }$ nennt Steiner gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte[7].

Jedes der Punktepaare ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$ und ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ nennt man antihomolog. Die Paare ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ und ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ heißen homolog; sie sind Urbild-Bildpaare bezüglich der Ähnlichkeitsabbildung (Homologie).[8][9]

Gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise: Anwendung

Berührkreise zu zwei Kreise

Legt man durch ${\displaystyle E}$ eine zweite Sekante (siehe Bild) gilt:

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

Mit dem Sekantensatz erkennt man:

Die Punkte ${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$ liegen auf einem Kreis.

Analog ergibt sich:

Die Punkte ${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$ liegen auf einem Kreis.

Da sich die Potenzgeraden dreier Kreise in einem Punkt schneiden (siehe: Artikel Potenzgerade) gilt:

Die Sekanten ${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$ schneiden sich auf der Potenzgerade der gegebenen Kreise.

Lässt man nun die untere blaue Sekante (siehe Bild) gegen die obere laufen, geht der rote Kreis in einen Kreis über, der die beiden gegebenen Kreise berührt. Der Mittelpunkt des Berührkreises ist der Schnittpunkt der Geraden ${\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}}$. Die Sekanten ${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$ gehen in die Tangenten in den Berührpunkten ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ über. Die Tangenten schneiden sich auf der Potenzgerade ${\displaystyle p}$ (im Bild gelb).

Entsprechende Überlegungen führen zu dem zweiten Berührkreis durch die Punkte ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$ (siehe Bild).

Durch Variation der Sekante ${\displaystyle g}$ erhält man alle Berührkreise zu den gegebenen Kreisen.

Lage der Mittelpunkte

Berührkreise zweier Kreise

Ist ${\displaystyle X}$ der Mittelpunkt und ${\displaystyle \rho }$ der Radius des Berührkreises durch ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ so gilt:

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

Die Mittelpunkte liegen also auf einer Hyperbel mit den

Brennpunkten ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$,

dem Abstand der Scheitel ${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$,

dem Mittelpunkt von ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ als Mittelpunkt ${\displaystyle M}$,

der linearen Exzentrizität ${\displaystyle e={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}$ und

${\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}}$.

Überlegungen für die Mittelpunkte der Kreise, die die gegebenen Kreise umhüllen, liefern ein analoges Resultat:

Ist ${\displaystyle X}$ der Mittelpunkt und ${\displaystyle \rho }$ der Radius des Berührkreises durch ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$ so gilt:

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

Die Mittelpunkte liegen auf derselben Hyperbel wie vorher. Allerdings auf dem rechten Ast.

Siehe hierzu auch den Artikel apollonisches Problem: Lösungsmethoden.