Potente Zahl

Eine potente Zahl ist eine natürliche Zahl ${\displaystyle m}$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Primteiler ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle m}$ auch ${\displaystyle p^{2}}$ Teiler von ${\displaystyle m}$ ist. Äquivalent dazu ist eine potente Zahl das Produkt einer Quadratzahl und einer Kubikzahl: ${\displaystyle m=a^{2}b^{3}}$ mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$. Paul Erdős und George Szekeres untersuchten solche Zahlen, Solomon W. Golomb nannte sie powerful.

Liste aller potenten Zahlen von 1 bis 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Folge A001694 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Die Reihe über den Kehrwerten aller potenten Zahlen lässt sich mit Hilfe der Riemannsche ζ-Funktion geschlossen darstellen. (Golomb, 1970)

${\displaystyle \sum _{n\,{\text{potent}}}{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p\,(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\,\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1{,}9435964368207592050570...}$

Dabei ist ${\displaystyle \zeta (3)}$ die Apéry-Konstante, für die es keine exakte Darstellung wie für gerade Argumente der Riemannschen Zeta-Funktion gibt. Ihr numerischer Wert beläuft sich auf ${\displaystyle \zeta (3)=1{,}20205690315959428539...}$.