Wurzelsystem

Für irreduzible, nicht reduzierte Wurzelsysteme gibt es nur wenige Möglichkeiten, die gedacht werden können als die Vereinigung eines ${\displaystyle B_{n}}$ mit einem ${\displaystyle C_{n}}$ (mit ${\displaystyle n\geq 1}$) bzw. als ein ${\displaystyle B_{n}}$, bei dem für jede kurze Wurzel deren Doppeltes hinzugenommen wurde.

Es sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine endlich-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra und ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ eine Cartan-Unteralgebra. Dann heißt ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {a}}}$ eine Wurzel, wenn

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }:=\left\{Y\in {\mathfrak {g}}:\left[X,Y\right]=\alpha ^{\vee }(X)Y\ \forall X\in {\mathfrak {a}}\right\}\not =\left\{0\right\}}$

ist. Hierbei ist ${\displaystyle \alpha ^{\vee }\in {\mathfrak {a}}^{*}}$ die mittels der Killing-Form ${\displaystyle B}$ durch

${\displaystyle \alpha ^{\vee }(X)=2{\frac {B(\alpha ,X)}{B(\alpha ,\alpha )}}\ \forall X\in {\mathfrak {a}}}$

definierte lineare Abbildung.

Sei ${\displaystyle R\subset {\mathfrak {a}}}$ die Menge der Wurzeln, dann kann man zeigen, dass

${\displaystyle ({\mathfrak {a}},R)}$

ein Wurzelsystem ist.

Dieses Wurzelsystem hat folgende Eigenschaften:

1. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}(\mathbb {R} ):=\left\{a\in {\mathfrak {a}}:\alpha ^{\vee }(a)\in \mathbb {R} \ \forall \ \alpha \in R\right\}}$ ist eine reelle Form von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.
2. Für ${\displaystyle \alpha \in R}$ gilt ${\displaystyle n\alpha \in R}$ genau dann, wenn ${\displaystyle n=\pm 1}$.
3. Für alle ${\displaystyle \alpha \in R}$ ist ${\displaystyle \operatorname {dim} ({\mathfrak {g}}_{\alpha })=1}$.
4. Für alle ${\displaystyle \alpha ,\beta \in R}$ ist ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }=\left[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }\right]}$, insbesondere ${\displaystyle \left[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }\right]\subset {\mathfrak {a}}}$.
5. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha },\left[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }\right]}$ spannen eine zur Lie-Algebra sl(2,C) isomorphe Lie-Algebra auf.
6. Für ${\displaystyle \alpha \not =\pm \beta }$ ist ${\displaystyle B({\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta })=0}$, d. h., die Wurzelräume sind bzgl. der Killing-Form orthogonal. Die Einschränkung der Killing-Form auf ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ ist nicht-entartet. Die Einschränkung der Killing-Form auf ${\displaystyle {\mathfrak {a}}(\mathbb {R} )}$ ist reell und positiv definit.

Endlich-dimensionale halbeinfache komplexe Lie-Algebren werden durch ihre Wurzelsysteme, also durch ihre Dynkin-Diagramme, klassifiziert.

Es sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=sl(n,\mathbb {R} )}$. Die Killing-Form ist ${\displaystyle B(X,Y)=2nTr(XY)}$, eine Cartan-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ist die Algebra der Diagonalmatrizen mit Spur 0, also ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\left\{\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}}$. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle e_{i}}$ die Diagonalmatrix mit ${\displaystyle i}$-tem Diagonaleintrag ${\displaystyle \lambda _{i}=1}$ und den anderen Diagonaleinträgen gleich 0.

Das Wurzelsystem von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ist ${\displaystyle R=\left\{e_{i}-e_{j}:1\leq i\not =j\leq n\right\}}$. Die zu ${\displaystyle \alpha =e_{i}-e_{j}}$ duale Form ${\displaystyle \alpha ^{\vee }\in {\mathfrak {a}}^{*}}$ ist

${\displaystyle \alpha ^{\vee }(\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}))=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

Als positive Weyl-Kammer kann man

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{+}=\left\{\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}>\ldots >\lambda _{n},\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}}$

wählen. Die positiven Wurzeln sind dann

${\displaystyle R^{+}=\left\{e_{i}-e_{j}:1\leq i<j\leq n\right\}}$.

Die einfachen Wurzeln sind

${\displaystyle \left\{e_{i}-e_{i+1}:1\leq i\leq n-1\right\}}$.

Eine Coxeter-Gruppe ist abstrakt definiert als Gruppe mit Präsentation

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

mit ${\displaystyle m_{ii}=1}$ und ${\displaystyle m_{ij}\geq 2}$ für ${\displaystyle i\neq j}$, sowie der Konvention ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$, falls ${\displaystyle (r_{i}r_{j})}$ unendliche Ordnung hat, d. h. es keine Relation der Form ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}$ gibt.

Coxeter-Gruppen sind eine Abstraktion des Begriffs der Spiegelungsgruppe.

Jeder Coxeter-Gruppe entspricht ein ungerichtetes Dynkin-Diagramm. Die Punkte des Diagramms entsprechen den Erzeugern ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}}$. Die ${\displaystyle r_{i}}$ und ${\displaystyle r_{j}}$ entsprechenden Punkte werden durch ${\displaystyle m_{ij}}$ Kanten verbunden.

Nach Wladimir Arnold lassen sich Elementare Katastrophen durch Dynkin-Diagramme vom Typ ADE klassifizieren:

• ${\displaystyle A_{0}}$ – ein nicht-singulärer Punkt, ${\displaystyle V=x}$.
• ${\displaystyle A_{1}}$ – ein lokales Extremum, entweder ein stabiles Minimum oder ein instabiles Maximum ${\displaystyle V=\pm x^{2}+ax}$.
• ${\displaystyle A_{2}}$ – die Faltung, fold
• ${\displaystyle A_{3}}$ – die Spitze, cusp
• ${\displaystyle A_{4}}$ – der Schwalbenschwanz, swallowtail
• ${\displaystyle A_{5}}$ – der Schmetterling, butterfly
• ${\displaystyle A_{k}}$ – eine unendliche Folge von Formen in einer Variablen ${\displaystyle V=x^{k+1}+\cdots }$
• ${\displaystyle D_{4}^{-}}$ – die elliptische umbilische Katastrophe
• ${\displaystyle D_{4}^{+}}$ – die hyperbolische umbilische Katastrophe
• ${\displaystyle D_{5}}$ – die parabolische umbilische Katastrophe
• ${\displaystyle D_{k}}$ – eine unendliche Folge weiterer umbilischer Katastrophen
• ${\displaystyle E_{6}}$ – die umbilische Katastrophe ${\displaystyle V=x^{3}+y^{4}+axy^{2}+bxy+cx+dy}$
• ${\displaystyle E_{7}}$
• ${\displaystyle E_{8}}$